Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é um PVI (Problema de Valor Inicial). A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem e três condições: duas iniciais e uma função direita. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações homogêneas, soluções particulares e aplicar as condições iniciais pra achar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
E as condições iniciais são:

Passo 3

Vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Para isso, montamos a equação característica associada:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são:
Isso significa que a solução geral da parte homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando os coeficientes:
O que dá:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Então:
Agora, derivamos :
Aplicando :
Então:

Passo 8

Temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do PVI é:

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Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.
Considere a equaçõa encontre a solucão da parte homogênea da equação e procure uma solução da equação não homogênea da forma , em que será determinao.