Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que é um PVI (Problema de Valor Inicial). A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem e três condições: duas iniciais e uma função direita. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações homogêneas, soluções particulares e aplicar as condições iniciais pra achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
E as condições iniciais são:
Passo 3
Vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Para isso, montamos a equação característica associada:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são:
Isso significa que a solução geral da parte homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa. Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando os coeficientes:
O que dá:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .