Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa determinar se a integral
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e fatores de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral:
. É importante verificar se o denominador se anula em algum ponto no intervalo de integração [0, 4], porque isso pode causar descontinuidade na função e afetar a convergência da integral.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes do denominador
para identificar possíveis pontos de descontinuidade:
Portanto, as raízes são
e
. Como estamos integrando de 0 a 4, a única raiz que interessa é
, que está dentro do intervalo de integração. Isso significa que a função tem uma descontinuidade em
, tornando a integral imprópria.
Passo 4
Para determinar a convergência, precisamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto de descontinuidade:
Vamos avaliar o limite dessas integrais enquanto se aproxima de
.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a integral de 0 a 2:
Fatorando o denominador:
Então, podemos usar frações parciais para decompor a fração:
Resolvendo para A e B:
Usando métodos de comparação de coeficientes, encontramos
e
. Então,
Aplicando os limites de 0 a 2:
O termo
tende a
quando
se aproxima de 2 pela esquerda, indicando que essa parte da integral diverge.
Passo 6
Como uma das partes da integral diverge, toda a integral original
é divergente. Não precisamos calcular a segunda parte, pois já sabemos que a integral não converge.
Resposta
A integral
é divergente.
Exercícios relacionados
Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
. Lembre que
Calcular pela definição o valor de
se
Em cada uns dos exercícios encontre a função
em que sua tranformada de Laplace é:
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.