Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ll (g) integral0^4 d xx^2-x-2 &

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa determinar se a integral é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e fatores de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . É importante verificar se o denominador se anula em algum ponto no intervalo de integração [0, 4], porque isso pode causar descontinuidade na função e afetar a convergência da integral.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes do denominador x^2 - x - 2 = 0 Rightarrow x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 para identificar possíveis pontos de descontinuidade:
Portanto, as raízes são e . Como estamos integrando de 0 a 4, a única raiz que interessa é , que está dentro do intervalo de integração. Isso significa que a função tem uma descontinuidade em , tornando a integral imprópria.

Passo 4

Para determinar a convergência, precisamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto de descontinuidade:
integral0^4 dxx^2-x-2 = integral0^2 dxx^2-x-2 + integral2^4 dxx^2-x-2
Vamos avaliar o limite dessas integrais enquanto se aproxima de .

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a integral de 0 a 2:
integral0^2 dxx^2-x-2
Fatorando o denominador:
x^2-x-2 = (x - 2)(x + 1)
Então, podemos usar frações parciais para decompor a fração:
1(x - 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 1
Resolvendo para A e B:
1 = A(x + 1) + B(x - 2)
Usando métodos de comparação de coeficientes, encontramos integral dxx^2-x-2 = 13 ln|x - 2| - 13 ln|x + 1| + C e lima to 2^- [ 13 ln|a - 2| - 13 ln|a + 1| ] - [ 13 ln|0 - 2| - 13 ln|0 + 1| ] . Então,
Aplicando os limites de 0 a 2:
O termo tende a quando se aproxima de 2 pela esquerda, indicando que essa parte da integral diverge.

Passo 6

Como uma das partes da integral diverge, toda a integral original é divergente. Não precisamos calcular a segunda parte, pois já sabemos que a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente.

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