Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa determinar se a integral é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e fatores de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . É importante verificar se o denominador se anula em algum ponto no intervalo de integração [0, 4], porque isso pode causar descontinuidade na função e afetar a convergência da integral.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes do denominador para identificar possíveis pontos de descontinuidade:
Portanto, as raízes são e . Como estamos integrando de 0 a 4, a única raiz que interessa é , que está dentro do intervalo de integração. Isso significa que a função tem uma descontinuidade em , tornando a integral imprópria.

Passo 4

Para determinar a convergência, precisamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto de descontinuidade:
Vamos avaliar o limite dessas integrais enquanto se aproxima de .

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a integral de 0 a 2:
Fatorando o denominador:
Então, podemos usar frações parciais para decompor a fração:
Resolvendo para A e B:
Usando métodos de comparação de coeficientes, encontramos e . Então,
Aplicando os limites de 0 a 2:
O termo tende a quando se aproxima de 2 pela esquerda, indicando que essa parte da integral diverge.

Passo 6

Como uma das partes da integral diverge, toda a integral original é divergente. Não precisamos calcular a segunda parte, pois já sabemos que a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados

Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
. Lembre que
Calcular pela definição o valor de se
Em cada uns dos exercícios encontre a função em que sua tranformada de Laplace é:
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.