Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) e calcular a transformada de Laplace de f.
f(t) = { 1, 0 <= t < 1; -1, 1 <= t < 2; 1, 2 <= t < 3; -1, 3 <= t < 4; 0, t >= 4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente:
  1. Esboçar o gráfico da função .
  2. Expressar usando a função degrau unitário .
  3. Calcular a transformada de Laplace de .
Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções por partes, função degrau unitário e transformada de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . A função está definida por diferentes valores em intervalos de :
  • De a :
  • De a :
  • De a :
  • De a :
  • Para :
No gráfico, no eixo horizontal temos o tempo e no vertical o valor de . Vamos desenhar retângulos ou linhas horizontais nesses intervalos para representar os valores de .

Passo 3

Agora, vamos expressar usando a função degrau unitário . A função degrau unitário, , é igual a 0 quando e igual a 1 quando .
Vamos identificar os pontos onde a função muda de valor:
  • Troca de para em
  • Troca de para em
  • Troca de para em
  • Troca de para em
Usando essas mudanças, podemos escrever como uma combinação de funções degrau:
Aqui, multiplicamos por 2 porque a mudança é de 1 para -1 (uma queda de 2 unidades), de -1 para 1 (um aumento de 2 unidades), e assim por diante.

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aplicando isso à nossa expressão de :
Sabemos que:
Então, substituindo:
Podemos simplificar isso colocando todos os termos sobre :

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Desenhe o sólido que está entre a superfície z = 2xy / (x^2 + 1) e o plano z = x + 2y e é limitado pelos planos x = 0, x=2, y=0 e y = 4. A seguir, determine seu volume.
Determine as derivadas: y = e^(sen(t))
Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) e calcular a transformada de Laplace de f.
f(t) = { t, 0 <= t < 1; t - 1, 1 <= t < 2; t - 2, 2 <= t < 3; 0, t >= 3 }
Dada a EDO y' = 1/x, verifique se a função implícita x*y - y^2 = C (onde C é uma constante arbitrária) é uma solução da EDO dada.