Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse em termos da função degrau unitário e calcular a transformada de Laplace de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente:
Esboçar o gráfico da função .
Expressar usando a função degrau unitário .
Calcular a transformada de Laplace de .
Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções por partes, função degrau unitário e transformada de Laplace para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . A função está definida por diferentes valores em intervalos de :
De a :
De a :
De a :
De a :
Para :
No gráfico, no eixo horizontal temos o tempo e no vertical o valor de . Vamos desenhar retângulos ou linhas horizontais nesses intervalos para representar os valores de .
Passo 3
Agora, vamos expressar usando a função degrau unitário . A função degrau unitário, , é igual a 0 quando e igual a 1 quando .
Vamos identificar os pontos onde a função muda de valor:
Troca de para em
Troca de para em
Troca de para em
Troca de para em
Usando essas mudanças, podemos escrever como uma combinação de funções degrau:
Aqui, multiplicamos por 2 porque a mudança é de 1 para -1 (uma queda de 2 unidades), de -1 para 1 (um aumento de 2 unidades), e assim por diante.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aplicando isso à nossa expressão de :
Sabemos que:
Então, substituindo:
Podemos simplificar isso colocando todos os termos sobre :