Dada a EDO
, verifique se a função implícita
(onde
é uma constante arbitrária) é uma solução da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é
. A tarefa é verificar se a função implícita
(onde
é uma constante) é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita, que ajuda a encontrar
quando a equação está dada de forma não explícita.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a função implícita
em relação a
. Lembra que quando temos uma função implícita, a estratégia é diferenciar cada termo separadamente, tratando
como uma função de
.
Então, derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra do produto). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, já que é uma constante.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação que obtivemos:
Passo 4
Vamos comparar a expressão que encontramos para
com a EDO original
. Para que a função implícita seja uma solução da EDO, as duas expressões para
devem ser iguais:
Vamos ver se isso é verdade.
Passo 5
Multiplicando os dois lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Isso mostra que, para a função implícita satisfazer a EDO,
deve ser igual a
. Porém, na função implícita original
,
não está necessariamente relacionado dessa forma, o que significa que a igualdade
não se mantém para todos os valores de
e
.
Resposta
A função implícita
não é uma solução da EDO
.