Dada a EDO y' = 1/x, verifique se a função implícita x*y - y^2 = C (onde C é uma constante arbitrária) é uma solução da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . A tarefa é verificar se a função implícita (onde é uma constante) é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita, que ajuda a encontrar quando a equação está dada de forma não explícita.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a função implícita em relação a . Lembra que quando temos uma função implícita, a estratégia é diferenciar cada termo separadamente, tratando como uma função de .
Então, derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, já que é uma constante.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação que obtivemos:

Passo 4

Vamos comparar a expressão que encontramos para com a EDO original . Para que a função implícita seja uma solução da EDO, as duas expressões para devem ser iguais:
Vamos ver se isso é verdade.

Passo 5

Multiplicando os dois lados da equação por para eliminar os denominadores:
Isso mostra que, para a função implícita satisfazer a EDO, deve ser igual a . Porém, na função implícita original , não está necessariamente relacionado dessa forma, o que significa que a igualdade não se mantém para todos os valores de e .

Resposta

A função implícita não é uma solução da EDO .

Exercícios relacionados

Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) e calcular a transformada de Laplace de f.
f(t) = { t, 0 <= t < 1; t - 1, 1 <= t < 2; t - 2, 2 <= t < 3; 0, t >= 3 }
Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) e calcular a transformada de Laplace de f.
f(t) = { 1, 0 <= t < 1; -1, 1 <= t < 2; 1, 2 <= t < 3; -1, 3 <= t < 4; 0, t >= 4 }
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não. partial Tpartial x+partial Tpartial y=partial^2 Tpartial x partial y
Modele a taxa de crescimento de uma população de coelhos em uma ilha sem predadores, sabendo que a taxa de crescimento dessa população no momento t é igual a 50 % do total da população no momento t - 2.