Dada a EDO , verifique se a função implícita (onde é uma constante arbitrária) é uma solução da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . A tarefa é verificar se a função implícita (onde é uma constante) é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita, que ajuda a encontrar quando a equação está dada de forma não explícita.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a função implícita em relação a . Lembra que quando temos uma função implícita, a estratégia é diferenciar cada termo separadamente, tratando como uma função de .
Então, derivando cada termo:
A derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é 0, já que é uma constante.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar na equação que obtivemos:
Passo 4
Vamos comparar a expressão que encontramos para com a EDO original . Para que a função implícita seja uma solução da EDO, as duas expressões para devem ser iguais:
Vamos ver se isso é verdade.
Passo 5
Multiplicando os dois lados da equação por para eliminar os denominadores:
Isso mostra que, para a função implícita satisfazer a EDO, deve ser igual a . Porém, na função implícita original , não está necessariamente relacionado dessa forma, o que significa que a igualdade não se mantém para todos os valores de e .