Dada a EDO y' = 1/x, verifique se a função implícita x*y - y^2 = C (onde C é uma constante arbitrária) é uma solução da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . A tarefa é verificar se a função implícita (onde é uma constante) é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita, que ajuda a encontrar quando a equação está dada de forma não explícita.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a função implícita em relação a . Lembra que quando temos uma função implícita, a estratégia é diferenciar cada termo separadamente, tratando como uma função de .
Então, derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, já que é uma constante.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação que obtivemos:

Passo 4

Vamos comparar a expressão que encontramos para com a EDO original . Para que a função implícita seja uma solução da EDO, as duas expressões para devem ser iguais:
Vamos ver se isso é verdade.

Passo 5

Multiplicando os dois lados da equação por para eliminar os denominadores:
Isso mostra que, para a função implícita satisfazer a EDO, deve ser igual a . Porém, na função implícita original , não está necessariamente relacionado dessa forma, o que significa que a igualdade não se mantém para todos os valores de e .

Resposta

A função implícita não é uma solução da EDO .

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