Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) e calcular a transformada de Laplace de f.
f(t) = { t, 0 <= t < 1; t - 1, 1 <= t < 2; t - 2, 2 <= t < 3; 0, t >= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está definida de diferentes maneiras em intervalos de tempo específicos. A tarefa é fazer três coisas: desenhar o gráfico dessa função, expressar usando a função degrau unitário , e calcular a transformada de Laplace de . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes, funções degrau unitário e a transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta em cada intervalo:
  • De a , .
  • De a , .
  • De a , .
  • Para , .
Isso significa que a função começa aumentando linearmente de a , depois continua aumentando com um “salto” a cada unidade de tempo até parar em .

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos da função degrau unitário . A função degrau unitário é definida como:
Usando , e para marcar os instantes de , e respectivamente, podemos reescrever como:
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos:
Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
Simplificando os termos:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) e calcular a transformada de Laplace de f.
f(t) = { 1, 0 <= t < 1; -1, 1 <= t < 2; 1, 2 <= t < 3; -1, 3 <= t < 4; 0, t >= 4 }
Desenhe o sólido que está entre a superfície z = 2xy / (x^2 + 1) e o plano z = x + 2y e é limitado pelos planos x = 0, x=2, y=0 e y = 4. A seguir, determine seu volume.
Dada a EDO y' = 1/x, verifique se a função implícita x*y - y^2 = C (onde C é uma constante arbitrária) é uma solução da EDO dada.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não. partial Tpartial x+partial Tpartial y=partial^2 Tpartial x partial y