Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse em termos da função degrau unitário e calcular a transformada de Laplace de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está definida de diferentes maneiras em intervalos de tempo específicos. A tarefa é fazer três coisas: desenhar o gráfico dessa função, expressar usando a função degrau unitário , e calcular a transformada de Laplace de . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes, funções degrau unitário e a transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função se comporta em cada intervalo:
De a , .
De a , .
De a , .
Para , .
Isso significa que a função começa aumentando linearmente de a , depois continua aumentando com um “salto” a cada unidade de tempo até parar em .
Passo 3
Agora, vamos expressar em termos da função degrau unitário . A função degrau unitário é definida como:
Usando , e para marcar os instantes de , e respectivamente, podemos reescrever como:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos: