Em cada uns dos problemas esboce seu gráfico, expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) e calcular a transformada de Laplace de f.
f(t) = { t, 0 <= t < 1; t - 1, 1 <= t < 2; t - 2, 2 <= t < 3; 0, t >= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está definida de diferentes maneiras em intervalos de tempo específicos. A tarefa é fazer três coisas: desenhar o gráfico dessa função, expressar usando a função degrau unitário , e calcular a transformada de Laplace de . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções por partes, funções degrau unitário e a transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta em cada intervalo:
  • De a , .
  • De a , .
  • De a , .
  • Para , .
Isso significa que a função começa aumentando linearmente de a , depois continua aumentando com um “salto” a cada unidade de tempo até parar em .

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos da função degrau unitário . A função degrau unitário é definida como:
Usando , e para marcar os instantes de , e respectivamente, podemos reescrever como:
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos:
Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
Simplificando os termos:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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