Desenhe o sólido que está entre a superfície o plano e é limitado pelos planos , e . A seguir, determine seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para desenhar o sólido que está entre a superfície e o plano , limitado pelos planos , , e . Além disso, precisamos determinar o volume desse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies envolvidas. Temos duas funções para :
Essas duas superfícies formam as “teto” e “fundo” do sólido. O sólido está entre elas, então precisamos descobrir onde essas superfícies se encontram para definir os limites de integração.
Passo 3
Vamos igualar as duas expressões para encontrar a curva de interseção:
Isso nos ajuda a entender como as superfícies se comportam em relação uma à outra dentro dos limites de e .
Passo 4
Agora, vamos identificar as áreas de integração. Os limites para são de 0 a 2, e para de 0 a 4, conforme dado no problema. Isso significa que vamos integrar sobre o retângulo definido por e .
Passo 5
O próximo passo é configurar a integral dupla para calcular o volume. A diferença entre as duas superfícies nos dará a “altura” do sólido em cada ponto :
Aqui, subtraímos a superfície inferior da superior para encontrar a altura em cada ponto.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a :
Integrando termo a termo:
Então, após integrar:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de :
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos que integrar essa expressão com relação a de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Para a última integral, podemos usar substituição. Seja , então , ou seja, . Assim: