Verifique a continuidade da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é contínua quando
vai para o infinito. Isso envolve entender o que significa continuidade no infinito e como analisar cada parte da função quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua no infinito se, quando
cresce sem parar, cada componente da função se comporta de maneira bem definida, ou seja, tem um limite finito ou tende ao infinito de forma consistente. Então, precisamos analisar cada parte da
separadamente:
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. À medida que
cresce,
fica cada vez menor, se aproximando de 0. Matematicamente,
. Isso mostra que essa parte da função tem um limite definido no infinito.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aqui, temos um polinômio. Quando
vai para o infinito, o termo de maior grau domina o comportamento da função. Então,
cresce muito mais rápido que
, e o limite é
. Isso significa que essa parte da função também está bem comportada no infinito, tendendo ao infinito.
Passo 5
Por último, analisamos a terceira componente:
. A função exponencial cresce extremamente rápido conforme
aumenta. Portanto,
. Assim, essa parte da função também tende ao infinito de forma consistente.
Resposta
Como cada componente da função
tem um limite bem definido quando
vai para o infinito, podemos concluir que a função
é contínua em
.