Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
c.
c.
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Vamos usar séries de potência para encontrar a solução. Para isso, precisamos conhecer como representar funções como séries de potências e como manipular essas séries dentro de uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potência em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Simplificamos os termos:
- O termo
fica:
Então, a equação fica:
Passo 6
Ajustamos os índices das somas para que todas tenham
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo já está com
:
- Terceiro termo também está com
:
E o lado direito:
Passo 7
Reescrevemos a equação completa com os mesmos índices:
Passo 8
Combinamos os termos da esquerda:
Passo 9
Para que as séries sejam iguais, os coeficientes de
devem ser iguais para cada
:
Essa é a relação de recorrência que vamos usar para encontrar os coeficientes
.
Passo 10
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
:
-
implica -
implica
Passo 11
Usamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes:
- Para
:
- Para
:
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes conforme necessário.
Resposta
A solução da equação diferencial dada, expressa como série de potência, é: