Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de x.
c. y'' + x y' - 2 y = e^x, y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Vamos usar séries de potência para encontrar a solução. Para isso, precisamos conhecer como representar funções como séries de potências e como manipular essas séries dentro de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potência em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Simplificamos os termos:
  • O termo fica:
Então, a equação fica:

Passo 6

Ajustamos os índices das somas para que todas tenham :
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo já está com :
  • Terceiro termo também está com :
E o lado direito:

Passo 7

Reescrevemos a equação completa com os mesmos índices:

Passo 8

Combinamos os termos da esquerda:

Passo 9

Para que as séries sejam iguais, os coeficientes de devem ser iguais para cada :
Essa é a relação de recorrência que vamos usar para encontrar os coeficientes .

Passo 10

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e :
  • implica
  • implica

Passo 11

Usamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes:
  • Para :
  • Para :
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes conforme necessário.

Resposta

A solução da equação diferencial dada, expressa como série de potência, é:

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