A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
© Encontre a posição como função do tempo.
© Encontre a posição como função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula que se move em uma única direção. No instante inicial (tempo zero), ela está na posição 0,125 e com uma velocidade de 0,5 unidades. A aceleração dela muda com o tempo e é dada pela função
. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição da partícula em função do tempo, ou seja, uma fórmula que nos diga onde a partícula está em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar
:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 4
Integrando
:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Integrando
:
Sabemos que
. Então:
Passo 6
Juntando as integrais e adicionando a constante de integração
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar
. Sabemos que em
,
:
Passo 8
Substituindo
na expressão da velocidade:
Podemos simplificar escrevendo:
Passo 9
Agora que temos a velocidade em função do tempo, vamos encontrar a posição
. Sabemos que a posição é a integral da velocidade:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 10
Integrando
:
Lembrando que
, temos:
Passo 11
Integrando
:
Sabemos que
. Então:
Passo 12
Integrando
:
Passo 13
Juntando todas as integrais e adicionando a constante de integração
:
Passo 14
Agora, usamos a condição inicial da posição para encontrar
. Sabemos que em
,
:
Passo 15
Substituindo
na expressão da posição:
Podemos reescrever de forma mais organizada:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é:
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
© Em que posição a partícula encontra-se quando ?
© Em que posição a partícula encontra-se quando
Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
b.
b.
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
(f) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido positivo em relação ao sistema.
(f) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido positivo em relação ao sistema.
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(i) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por . Em que instantes de tempo, as partículas tem acelerações são iguais?
(i) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por