A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
© Encontre a posição como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula que se move em uma única direção. No instante inicial (tempo zero), ela está na posição 0,125 e com uma velocidade de 0,5 unidades. A aceleração dela muda com o tempo e é dada pela função . Nosso objetivo aqui é encontrar a posição da partícula em função do tempo, ou seja, uma fórmula que nos diga onde a partícula está em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar :
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 4

Integrando :
Lembrando que , temos:

Passo 5

Integrando :
Sabemos que . Então:

Passo 6

Juntando as integrais e adicionando a constante de integração :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar . Sabemos que em , :

Passo 8

Substituindo na expressão da velocidade:
Podemos simplificar escrevendo:

Passo 9

Agora que temos a velocidade em função do tempo, vamos encontrar a posição . Sabemos que a posição é a integral da velocidade:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 10

Integrando :
Lembrando que , temos:

Passo 11

Integrando :
Sabemos que . Então:

Passo 12

Integrando :

Passo 13

Juntando todas as integrais e adicionando a constante de integração :

Passo 14

Agora, usamos a condição inicial da posição para encontrar . Sabemos que em , :

Passo 15

Substituindo na expressão da posição:
Podemos reescrever de forma mais organizada:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

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