Para cada valor de
, a equação
representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por
;
(b) aquela cujo foco é
;
© aquela cuja diretriz é
.
(a) a que passa por
(b) aquela cujo foco é
© aquela cuja diretriz é
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a equação da parábola
, que representa uma parábola para qualquer valor de
diferente de zero. Vamos precisar entender um pouco sobre parábolas, como encontrar o valor de
com base em pontos específicos, foco e diretriz. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma.
Passo 2
Parte (a): Determinar a parábola que passa pelo ponto
.
Primeiro, vamos usar a equação geral da parábola . Sabemos que o ponto
está nessa parábola, então vamos substituir
e
na equação para encontrar
.
Primeiro, vamos usar a equação geral da parábola
Então, a equação da parábola é:
Passo 3
Parte (b): Determinar a parábola cujo foco é
.
Sabemos que a equação geral é . O foco dessa parábola está em
, já que a parábola abre para a direita. Dado que o foco é
, temos:
Sabemos que a equação geral é
Então, a equação da parábola é:
Passo 4
Parte ©: Determinar a parábola cuja diretriz é
.
A diretriz de uma parábola que abre para a direita ou esquerda é dada por . Dado que a diretriz é
, podemos reescrever como
.
A diretriz de uma parábola que abre para a direita ou esquerda é dada por
Essa relação nos dá:
Portanto, a equação da parábola é:
Resposta
(a) A equação da parábola que passa por
é
.
(b) A equação da parábola com foco em é
.
© A equação da parábola cuja diretriz é é
.
(b) A equação da parábola com foco em
© A equação da parábola cuja diretriz é
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Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em ( 0,3
e eixo maior medindo 10 unidades.
Seja
. Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a
em relação ao produto interno do Exercício anterior:
Mostre que as matrizes
são equivalentes, indicando a sequência de operações elementares de linhas utilizada para reduzir a matriz
à matriz triangular superior
.