Para cada valor de , a equação representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por ;
(b) aquela cujo foco é ;
© aquela cuja diretriz é .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a equação da parábola , que representa uma parábola para qualquer valor de diferente de zero. Vamos precisar entender um pouco sobre parábolas, como encontrar o valor de com base em pontos específicos, foco e diretriz. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma.

Passo 2

Parte (a): Determinar a parábola que passa pelo ponto .
Primeiro, vamos usar a equação geral da parábola . Sabemos que o ponto está nessa parábola, então vamos substituir e na equação para encontrar .
Então, a equação da parábola é:

Passo 3

Parte (b): Determinar a parábola cujo foco é .
Sabemos que a equação geral é . O foco dessa parábola está em , já que a parábola abre para a direita. Dado que o foco é , temos:
Então, a equação da parábola é:

Passo 4

Parte ©: Determinar a parábola cuja diretriz é .
A diretriz de uma parábola que abre para a direita ou esquerda é dada por . Dado que a diretriz é , podemos reescrever como .
Essa relação nos dá:
Portanto, a equação da parábola é:

Resposta

(a) A equação da parábola que passa por é .
(b) A equação da parábola com foco em é .
© A equação da parábola cuja diretriz é é .

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são equivalentes, indicando a sequência de operações elementares de linhas utilizada para reduzir a matriz à matriz triangular superior .