Para cada valor de k neq 0, a equação y^2=2 k x representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por (2, raiz5);
(b) aquela cujo foco é (-3,0);
© aquela cuja diretriz é x+7=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a equação da parábola , que representa uma parábola para qualquer valor de diferente de zero. Vamos precisar entender um pouco sobre parábolas, como encontrar o valor de com base em pontos específicos, foco e diretriz. Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma.

Passo 2

Parte (a): Determinar a parábola que passa pelo ponto (raiz5)^2 = 2k times 2 .
Primeiro, vamos usar a equação geral da parábola 5 = 4k . Sabemos que o ponto k = 54 está nessa parábola, então vamos substituir y^2 = 2 times 54 x e y^2 = 52 x na equação para encontrar .
Então, a equação da parábola é:

Passo 3

Parte (b): Determinar a parábola cujo foco é k1 = -3 .
Sabemos que a equação geral é k = -3 . O foco dessa parábola está em y^2 = 2 times (-3) x , já que a parábola abre para a direita. Dado que o foco é y^2 = -6x , temos:
Então, a equação da parábola é:

Passo 4

Parte ©: Determinar a parábola cuja diretriz é -k1 = -7 .
A diretriz de uma parábola que abre para a direita ou esquerda é dada por k = 7 . Dado que a diretriz é y^2 = 2 times 7 x , podemos reescrever como y^2 = 14x .
Essa relação nos dá:
Portanto, a equação da parábola é:

Resposta

(a) A equação da parábola que passa por é .
(b) A equação da parábola com foco em é .
© A equação da parábola cuja diretriz é é .

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