Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e queremos verificar se certas matrizes são ortogonais a ela usando um produto interno específico definido pela matriz . Então, vamos precisar entender o que é um produto interno, como calcular e depois usar isso pra ver se as matrizes são ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. No contexto de matrizes, o produto interno entre duas matrizes e com respeito a uma matriz é dado por , onde representa a soma dos elementos da diagonal principal. Isso nos dá um número que representa “o quão alinhadas” estão as duas matrizes segundo o peso definido por .

Passo 3

Agora, o que significa que duas matrizes sejam ortogonais? Basicamente, significa que o produto interno entre elas é igual a zero. Ou seja, se , então e são ortogonais em relação ao produto interno definido por .

Passo 4

Vamos ver como calcular isso na prática. Primeiro, precisamos transpor a matriz , que fica assim:
Depois, multiplicamos pela matriz :
Agora, multiplicamos pela matriz que queremos testar, digamos :
E depois tiramos a soma da diagonal principal dessa multiplicação para obter o produto interno.

Passo 5

Finalmente, para cada matriz que queremos verificar, fazemos esse cálculo do produto interno. Se o resultado for zero, então é ortogonal a segundo o produto interno definido por .

Resposta

Pronto! Seguindo esses passos, você consegue verificar se qualquer matriz é ortogonal a com relação ao produto interno definido pela matriz .

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Para cada valor de , a equação representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por ;
(b) aquela cujo foco é ;
© aquela cuja diretriz é .
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Mostre que as matrizes
são equivalentes, indicando a sequência de operações elementares de linhas utilizada para reduzir a matriz à matriz triangular superior .
Escreva as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles.
(a)
(b)
©