Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e queremos verificar se certas matrizes são ortogonais a ela usando um produto interno específico definido pela matriz . Então, vamos precisar entender o que é um produto interno, como calcular e depois usar isso pra ver se as matrizes são ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. No contexto de matrizes, o produto interno entre duas matrizes e com respeito a uma matriz é dado por , onde representa a soma dos elementos da diagonal principal. Isso nos dá um número que representa “o quão alinhadas” estão as duas matrizes segundo o peso definido por .
Passo 3
Agora, o que significa que duas matrizes sejam ortogonais? Basicamente, significa que o produto interno entre elas é igual a zero. Ou seja, se , então e são ortogonais em relação ao produto interno definido por .
Passo 4
Vamos ver como calcular isso na prática. Primeiro, precisamos transpor a matriz , que fica assim:
Depois, multiplicamos pela matriz :
Agora, multiplicamos pela matriz que queremos testar, digamos :
E depois tiramos a soma da diagonal principal dessa multiplicação para obter o produto interno.
Passo 5
Finalmente, para cada matriz que queremos verificar, fazemos esse cálculo do produto interno. Se o resultado for zero, então é ortogonal a segundo o produto interno definido por .
Resposta
Pronto! Seguindo esses passos, você consegue verificar se qualquer matriz é ortogonal a com relação ao produto interno definido pela matriz .