Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em ( 0,3 e eixo maior medindo 10 unidades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem (0,0), um foco em (0,3) e o eixo maior mede 10 unidades. Para isso, vamos usar as fórmulas da elipse e entender um pouquinho sobre seus elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com centro na origem é:
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
Passo 3
O problema diz que o eixo maior mede 10 unidades, então o comprimento total do eixo maior é 10. Como é o semi-eixo maior, temos:
Passo 4
Sabemos que a distância do centro a cada foco é . No caso, um foco está em (0,3), então:
Passo 5
Temos uma relação importante entre , e em uma elipse:
Vamos substituir os valores que já temos para encontrar .
Passo 6
Substituindo e na fórmula:
Então, .
Passo 7
Agora que temos e , podemos colocar esses valores na equação padrão da elipse: