Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em ( 0,3 e eixo maior medindo 10 unidades.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem (0,0), um foco em (0,3) e o eixo maior mede 10 unidades. Para isso, vamos usar as fórmulas da elipse e entender um pouquinho sobre seus elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com centro na origem é:
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

O problema diz que o eixo maior mede 10 unidades, então o comprimento total do eixo maior é 10. Como é o semi-eixo maior, temos:

Passo 4

Sabemos que a distância do centro a cada foco é . No caso, um foco está em (0,3), então:

Passo 5

Temos uma relação importante entre , e em uma elipse:
Vamos substituir os valores que já temos para encontrar .

Passo 6

Substituindo e na fórmula:
Então, .

Passo 7

Agora que temos e , podemos colocar esses valores na equação padrão da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:

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Dada a elipse , esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem é perpendicular ao plano
Para cada valor de , a equação representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por ;
(b) aquela cujo foco é ;
© aquela cuja diretriz é .