Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em ( 0,3 ) e eixo maior medindo 10 unidades.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem (0,0), um foco em (0,3) e o eixo maior mede 10 unidades. Para isso, vamos usar as fórmulas da elipse e entender um pouquinho sobre seus elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com centro na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

O problema diz que o eixo maior mede 10 unidades, então o comprimento total do eixo maior é 10. Como 2a = 10 é o semi-eixo maior, temos:
a = 5

Passo 4

Sabemos que a distância do centro a cada foco é c = 3 . No caso, um foco está em (0,3), então:

Passo 5

Temos uma relação importante entre c^2 = a^2 - b^2 , e em uma elipse:
Vamos substituir os valores que já temos para encontrar .

Passo 6

Substituindo 3^2 = 5^2 - b^2 e 9 = 25 - b^2 na fórmula:
b^2 = 25 - 9
b^2 = 16
Então, .

Passo 7

Agora que temos x^25^2 + y^24^2 = 1 e x^225 + y^216 = 1 , podemos colocar esses valores na equação padrão da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:
x^225 + y^216 = 1

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