Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem é perpendicular ao plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que escrever as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (ponto (0,0,0)) e é perpendicular ao plano dado:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre planos e retas, especificamente como encontrar uma reta perpendicular a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar as equações do plano . As equações estão em forma paramétrica, onde e são os parâmetros. Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido variando os valores de e .
As equações são:
Parece que faltou completar a última equação para . Vamos supor que a última equação seja , já que está escrita como .
Então, reescrevendo:

Passo 3

Agora, para encontrar uma reta perpendicular ao plano, precisamos do vetor normal desse plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para obter o vetor normal, podemos usar os vetores que definem o plano.
A partir das equações paramétricas, podemos identificar dois vetores diretores do plano:
  1. Variando e mantendo , obtemos o vetor .
  2. Variando e mantendo , obtemos o vetor .

Passo 4

Com esses dois vetores, podemos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano:
Calculando:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal , sabemos que a reta perpendicular ao plano terá a mesma direção desse vetor normal. Além disso, a reta passa pela origem .
As equações paramétricas da reta serão então:
onde é o parâmetro real.
Isso significa que, para qualquer valor de , os pontos estarão na reta que passamos pela origem e é perpendicular ao plano .

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
onde é um número real.

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Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em ( 0,3 e eixo maior medindo 10 unidades.
Para cada valor de , a equação representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por ;
(b) aquela cujo foco é ;
© aquela cuja diretriz é .
Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior: