Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem é perpendicular ao plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que escrever as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (ponto (0,0,0)) e é perpendicular ao plano dado:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre planos e retas, especificamente como encontrar uma reta perpendicular a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar as equações do plano . As equações estão em forma paramétrica, onde e são os parâmetros. Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido variando os valores de e .
As equações são:
Parece que faltou completar a última equação para . Vamos supor que a última equação seja , já que está escrita como .
Então, reescrevendo:
Passo 3
Agora, para encontrar uma reta perpendicular ao plano, precisamos do vetor normal desse plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para obter o vetor normal, podemos usar os vetores que definem o plano.
A partir das equações paramétricas, podemos identificar dois vetores diretores do plano:
Variando e mantendo , obtemos o vetor .
Variando e mantendo , obtemos o vetor .
Passo 4
Com esses dois vetores, podemos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano:
Calculando:
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal , sabemos que a reta perpendicular ao plano terá a mesma direção desse vetor normal. Além disso, a reta passa pela origem .
As equações paramétricas da reta serão então:
onde é o parâmetro real.
Isso significa que, para qualquer valor de , os pontos estarão na reta que passamos pela origem e é perpendicular ao plano .