Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem é perpendicular ao plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que escrever as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (ponto (0,0,0)) e é perpendicular ao plano dado:
pi:l x=1-lambda-mu y=lambda+mu z+lambda
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre planos e retas, especificamente como encontrar uma reta perpendicular a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar as equações do plano pi. As equações estão em forma paramétrica, onde lambda e mu são os parâmetros. Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido variando os valores de lambda e mu.
As equações são:
x = 1 - lambda - mu y = lambda + mu z + lambda
Parece que faltou completar a última equação para z. Vamos supor que a última equação seja z = -lambda, já que está escrita como z + lambda.
Então, reescrevendo:
x = 1 - lambda - mu y = lambda + mu z = -lambda
Passo 3
Agora, para encontrar uma reta perpendicular ao plano, precisamos do vetor normal desse plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para obter o vetor normal, podemos usar os vetores que definem o plano.
A partir das equações paramétricas, podemos identificar dois vetores diretores do plano:
Variando lambda e mantendo mu = 0, obtemos o vetor v1 = (-1, 1, -1).
Variando mu e mantendo lambda = 0, obtemos o vetor v2 = (-1, 1, 0).
Passo 4
Com esses dois vetores, podemos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal n ao plano:
Agora que temos o vetor normal n = (1, 1, 0), sabemos que a reta perpendicular ao plano pi terá a mesma direção desse vetor normal. Além disso, a reta passa pela origem (0, 0, 0).
As equações paramétricas da reta serão então:
x = t y = t z = 0
onde t é o parâmetro real.
Isso significa que, para qualquer valor de t, os pontos (t, t, 0) estarão na reta que passamos pela origem e é perpendicular ao plano pi.