Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(-2,2) e |w|=5

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um vetor v = (-2, 2) e precisamos achar um número real alpha tal que, quando multiplicamos v por alpha, o novo vetor w = alpha v tenha uma norma (ou comprimento) igual a 5. A gente vai usar conceitos de vetores e normas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor w, escrita como |w|, é calculada usando a fórmula:
|w| = raizw1^2 + w2^2
Onde w1 e w2 são as componentes do vetor w. No nosso caso, w = alpha v = (alpha cdot (-2), alpha cdot 2) = (-2alpha, 2alpha).

Passo 3

Vamos calcular a norma de w usando as componentes que encontramos:
|w| = raiz(-2alpha)^2 + (2alpha)^2 = raiz4alpha^2 + 4alpha^2 = raiz8alpha^2 = raiz8 cdot |alpha|
Lembrando que a raiz de alpha^2 é |alpha|, que representa o valor absoluto de alpha.

Passo 4

Sabemos que |w| deve ser igual a 5, então podemos igualar a expressão que encontramos a 5:
raiz8 cdot |alpha| = 5
Agora, vamos resolver para |alpha|:
|alpha| = 5raiz8 = 52raiz2

Passo 5

Para simplificar a expressão 52raiz2, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz2:
|alpha| = 5 cdot raiz22raiz2 cdot raiz2 = 5raiz24
Então, o valor absoluto de alpha é 5raiz24.

Passo 6

Como o valor absoluto de alpha é 5raiz24, isso significa que alpha pode ser positivo ou negativo. Portanto, as soluções para alpha são:
alpha = pm 5raiz24

Resposta

O valor de alpha que satisfaz a condição é alpha = dfrac5raiz24 ou alpha = -dfrac5raiz24.

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