Determine se é um espaço vetorial
O conjunto A=(s, t) in R^2 ; s=1 com as operações
i. Adição: (s1, t1)+(s2, t2)=(1, t1+t2) e
ii. Mult. por escolar: alpha cdot(s, t)=(1, alpha t)

Passo 1

Então, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se um certo conjunto é um espaço vetorial. O conjunto é definido como todos os pares ordenados em onde . Além disso, temos operações específicas de adição e multiplicação por escalar dadas por:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. Vamos precisar conhecer as definições básicas de espaço vetorial e as propriedades que devem ser atendidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, ) é um conjunto junto com duas operações: adição vetorial e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas. Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de forma consistente com nossa intuição de vetores no espaço.

Passo 3

Vamos listar os axiomas fundamentais que precisam ser verificados para confirmar se é um espaço vetorial:
  1. Fechamento sob adição: A soma de dois vetores em também está em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor em por um escalar resulta em um vetor que está em .
  3. Existência do vetor zero: Deve existir um vetor em tal que para todo .
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor , existe um vetor tal que .
  5. Associatividade da adição: para todos .
  6. Comutatividade da adição: para todos .
  7. Identidade da multiplicação por escalar: para todo .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial: para todo e .
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto com as operações dadas.

Passo 4

1. Fechamento sob adição:
Tomemos dois vetores quaisquer em v1 + v2 = (1, t1 + t2) : e .
A soma conforme a operação definida é:
O primeiro componente da soma é sempre 1, então está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Tomemos um vetor alpha cdot v = (1, alpha t) em e um escalar .
A multiplicação por escalar definida é:
O primeiro componente após a multiplicação por escalar ainda é 1, então está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

3. Existência do vetor zero:
Em um espaço vetorial, o vetor zero é o elemento que, adicionado a qualquer vetor, retorna o mesmo vetor.
No , o vetor zero é . Vamos verificar se pertence a .
Mas, por definição, em todo vetor tem a forma . Como tem o primeiro componente igual a 0 e não 1, não está em .
Isso significa que não possui o vetor zero necessário para ser um espaço vetorial.

Passo 7

Conclusão:
Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Mesmo que tenha fechado sob adição e multiplicação por escalar, a ausência do vetor zero impede que seja considerado um espaço vetorial completo.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial porque não contém o vetor zero necessário para satisfazer todos os axiomas de um espaço vetorial.

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