Determine se é um espaço vetorial
O conjunto
com as operações
i. Adição:
ii. Mult. por escolar:
O conjunto
i. Adição:
ii. Mult. por escolar:
Passo 1
Então, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se um certo conjunto
é um espaço vetorial. O conjunto
é definido como todos os pares ordenados
em
onde
. Além disso, temos operações específicas de adição e multiplicação por escalar dadas por:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. Vamos precisar conhecer as definições básicas de espaço vetorial e as propriedades que devem ser atendidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo
(neste caso,
) é um conjunto
junto com duas operações: adição vetorial e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas. Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de forma consistente com nossa intuição de vetores no espaço.
Passo 3
Vamos listar os axiomas fundamentais que precisam ser verificados para confirmar se
é um espaço vetorial:
- Fechamento sob adição: A soma de dois vetores em
também está em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor em
por um escalar resulta em um vetor que está em . - Existência do vetor zero: Deve existir um vetor
em tal que para todo . - Existência de inversos aditivos: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . - Associatividade da adição:
para todos . - Comutatividade da adição:
para todos . - Identidade da multiplicação por escalar:
para todo . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
para todo e .
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto
com as operações dadas.
Passo 4
1. Fechamento sob adição:
Tomemos dois vetores quaisquer em
:
e
.
A soma conforme a operação definida é:
O primeiro componente da soma é sempre 1, então
está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Tomemos um vetor
em
e um escalar
.
A multiplicação por escalar definida é:
O primeiro componente após a multiplicação por escalar ainda é 1, então
está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
3. Existência do vetor zero:
Em um espaço vetorial, o vetor zero é o elemento que, adicionado a qualquer vetor, retorna o mesmo vetor.
No
, o vetor zero é
. Vamos verificar se
pertence a
.
Mas, por definição, em
todo vetor tem a forma
. Como
tem o primeiro componente igual a 0 e não 1,
não está em
.
Isso significa que
não possui o vetor zero necessário para ser um espaço vetorial.
Passo 7
Conclusão:
Já que o conjunto
não contém o vetor zero, ele não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Mesmo que tenha fechado sob adição e multiplicação por escalar, a ausência do vetor zero impede que
seja considerado um espaço vetorial completo.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial porque não contém o vetor zero necessário para satisfazer todos os axiomas de um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma + )
e (produto escalar)
(
)
Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado tal que
.
Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado
Para cada vetor
de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar
tal que o vetor
definido por
tenha a norma pedida.
e
Considere o vetor
. Determine
tal que o vetor
seja ortogonal ao vetor
.
Determine as coordenadas de um vetor
que seja ortogonal ao vetor
e tal que o módulo de
seja 1