Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma + )
e (produto escalar)
(
)
Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado
tal que
.
Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
que é formado por todos os pares ordenados de números reais, tipo
. A gente define duas operações nesse conjunto:
-
Soma: Se a gente tem dois vetores
e , a soma deles é . -
Produto por escalar: Se a gente multiplica um vetor
por um número real , o resultado é .
O que a gente precisa fazer é mostrar que existe um vetor
tal que, quando a gente soma
com
, o resultado é o vetor zero, que aqui seria
. Isso é o que o Axioma 4 nos pede: cada vetor tem um inverso aditivo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor zero. No conjunto
, ele deve satisfazer:
Usando a definição da soma:
Isso implica que
e
, ou seja,
e
. Então, o vetor zero no nosso caso é
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
tal que:
Usando a definição da soma:
Isso simplifica para:
Percebemos que
não está dando o vetor zero
que definimos. Isso significa que nossa escolha de
precisa ser ajustada para satisfazer a condição.
Passo 4
Vamos então resolver as equações para encontrar
:
Resolvendo para
e
:
Então, o inverso aditivo de
é:
Resposta
Portanto,
satisfaz
, mostrando que o Axioma 4 é válido nesse conjunto.
Exercícios relacionados
Para cada vetor
de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar
tal que o vetor
definido por
tenha a norma pedida.
e
Encontre um polinômio cúbico (grau 3) cujo gráfico passa pelos pontos (1, 3), (2,-2), (3,
e
.
Determine se é um espaço vetorial
O conjunto com as operações
i. Adição:
ii. Mult. por escolar:
O conjunto
i. Adição:
ii. Mult. por escolar:
Considere o vetor
. Determine
tal que o vetor
seja ortogonal ao vetor
.