Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para u=(u1, u2) e v= (v1, v2); por (Soma + ) u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1) e (produto escalar) alpha u= ( alpha u1, alpha u2 )
Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado -u tal que u+(-u)=0, com u=(u1, u2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto que é formado por todos os pares ordenados de números reais, tipo . A gente define duas operações nesse conjunto:
  1. Soma: Se a gente tem dois vetores e , a soma deles é .
  2. Produto por escalar: Se a gente multiplica um vetor por um número real , o resultado é .
O que a gente precisa fazer é mostrar que existe um vetor tal que, quando a gente soma com , o resultado é o vetor zero, que aqui seria . Isso é o que o Axioma 4 nos pede: cada vetor tem um inverso aditivo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor zero. No conjunto u + 0 = u , ele deve satisfazer:
(u1 + 01 + 1, u2 + 02 + 1) = (u1, u2)
Usando a definição da soma:
Isso implica que e , ou seja, e . Então, o vetor zero no nosso caso é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar u + (-u) = 0 tal que:
(u1 + (-u1) + 1, u2 + (-u2) + 1) = (-1, -1)
Usando a definição da soma:
(0 + 1, 0 + 1) = (1, 1)
Isso simplifica para:
Percebemos que não está dando o vetor zero que definimos. Isso significa que nossa escolha de precisa ser ajustada para satisfazer a condição.

Passo 4

Vamos então resolver as equações para encontrar u1 + x + 1 = -1 :
u2 + y + 1 = -1
x = -1 - u1 - 1 = -u1 - 2
Resolvendo para y = -1 - u2 - 1 = -u2 - 2 e -u = (-u1 - 2, -u2 - 2) :
Então, o inverso aditivo de é:

Resposta

Portanto, satisfaz , mostrando que o Axioma 4 é válido nesse conjunto.

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