Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(1,2) e |w|=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado tá pedindo. A gente tem um vetor v = (1, 2) e precisa encontrar um número alpha tal que, quando a gente multiplica o vetor v por esse alpha, o novo vetor w = alpha v tenha uma norma igual a 1. A matéria aqui é sobre vetores e normas, e vamos precisar usar a fórmula da norma de um vetor e entender como a escala afeta essa norma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma de um vetor. Para um vetor w = (w1, w2), a norma é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2
No nosso caso, w = alpha v = (alpha cdot 1, alpha cdot 2) = (alpha, 2alpha). Então, os componentes de w são w1 = alpha e w2 = 2alpha.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da norma para w:
|w| = raiz(alpha)^2 + (2alpha)^2 = raizalpha^2 + 4alpha^2 = raiz5alpha^2
Simplificando, temos:
|w| = raiz5 cdot |alpha|

Passo 4

Sabemos que queremos que |w| = 1. Então, vamos igualar a expressão que encontramos a 1:
raiz5 cdot |alpha| = 1
Para encontrar alpha, dividimos ambos os lados por raiz5:
|alpha| = 1raiz5

Passo 5

Como a norma envolve o valor absoluto de alpha, alpha pode ser positivo ou negativo. Portanto, temos duas soluções possíveis:
alpha = 1raiz5 ou alpha = -1raiz5

Resposta

O valor do escalar alpha é alpha = pm 1raiz5.

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