Considere o vetor u=(-4,5). Determine beta tal que o vetor v=(0,3+beta) seja ortogonal ao vetor u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de β para que o vetor v = (0, 3+beta) seja ortogonal ao vetor u = (-4, 5). Aqui, estamos lidando com vetores e ortogonalidade, que envolve o produto escalar. Vamos usar o conceito de produto escalar para achar o valor de β.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2) é calculado assim:
a cdot b = a1 times b1 + a2 times b2

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores u e v. Queremos que:
u cdot v = 0
Substituindo os valores:
(-4) times 0 + 5 times (3 + beta) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar:
0 + 5 times (3 + beta) = 0
Isso simplifica para:
5(3 + beta) = 0

Passo 5

Para achar β, vamos dividir ambos os lados da equação por 5:
3 + beta = 0

Passo 6

Agora, isolamos β:
beta = -3

Resposta

O valor de β que torna o vetor v ortogonal ao vetor u é beta = -3.

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