Determine as equações cartesiana e paramétrica da reta ortogonal ao vetor u=(1,3) e qua passa pelo ponto A(0,3).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja ortogonal (perpendicular) ao vetor u = (1, 3) e que passe pelo ponto A(0, 3). Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, principalmente sobre retas e vetores. Precisamos identificar a direção da reta perpendicular ao vetor dado e então montar as equações solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta que queremos. Sabemos que se uma reta é ortogonal a um vetor u = (1, 3), então o vetor diretor da reta deve ser perpendicular a u.
Para encontrar um vetor perpendicular a u, trocamos as componentes e mudamos o sinal de uma delas. Então, um vetor perpendicular a u pode ser v = (3, -1) ou v = (-3, 1). Vamos usar v = (3, -1).

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor v = (3, -1), podemos escrever a equação paramétrica da reta. Sabemos que a equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto A(x0, y0) e tem vetor diretor v = (a, b) é dada por:
x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t
No nosso caso, A(0, 3) e v = (3, -1). Substituindo, temos:
x = 0 + 3t y = 3 - t

Passo 4

Agora vamos encontrar a equação cartesiana da reta. A equação paramétrica que encontramos foi:
x = 3t y = 3 - t
Para eliminar o parâmetro t, resolvemos a primeira equação para t:
t = x3
Substituímos esse valor na segunda equação:
y = 3 - x3
Simplificando, temos a equação cartesiana:
y = -13x + 3

Resposta

A reta ortogonal ao vetor u = (1, 3) e que passa pelo ponto A(0, 3) tem:
  • Equação paramétrica:
    x = 3t y = 3 - t
  • Equação cartesiana:
    y = -13x + 3

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