Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(-3,0) e |w|=3

Passo 1

Então, temos o vetor v = (-3, 0) e queremos encontrar um número real alpha tal que o vetor w = alpha v tenha norma igual a 3. Vamos usar conceitos de multiplicação de vetores por escalares e cálculo de norma de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos o vetor v por alpha, cada componente do vetor é multiplicada por alpha. Assim, w = alpha v = (alpha cdot -3, alpha cdot 0) = (-3alpha, 0).

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma do vetor w. A norma de um vetor w = (w1, w2) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2
Substituindo os valores de w:
|w| = raiz(-3alpha)^2 + 0^2 = raiz9alpha^2 = 3|alpha|

Passo 4

Queremos que a norma de w seja igual a 3:
3|alpha| = 3
Dividindo ambos os lados por 3:
|alpha| = 1

Passo 5

A equação |alpha| = 1 tem duas soluções possíveis:
alpha = 1 ou alpha = -1

Resposta

Os valores de alpha que satisfazem a condição são alpha = 1 e alpha = -1.

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