Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais, onde e representa o Número de Euler :
(a)

Passo 1

Então, temos a tarefa de construir o gráfico da função exponencial . Vamos trabalhar com o conteúdo de funções exponenciais, que estudam como valores crescem ou decaem de forma rápida. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades das funções exponenciais, calcular alguns pontos-chave e, finalmente, desenhar o gráfico com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio e a imagem da função . O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como a exponencial está definida para todo número real, temos:
í
A imagem são todos os valores que pode assumir. Como é sempre positivo, a imagem é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar alguns pontos específicos para plotar no gráfico. Vamos calcular o valor de para alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Esses pontos vão nos ajudar a desenhar o gráfico com mais precisão.

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento da função. Sabemos que para funções exponenciais da forma :
  • À medida que aumenta, cresce rapidamente.
  • À medida que diminui, se aproxima de zero, mas nunca toca o eixo .
Além disso, a função tem uma assíntota horizontal em , pois nunca será zero, independente do valor de .

Passo 5

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos e .
  2. Marque os pontos calculados:
    • (0, 1)
    • (1, 2,7182)
    • (-1, 0,3679)
    • (2, 7,3891)
    • (-2, 0,1353)
  3. Trace uma curva suave que passa por esses pontos, lembrando que a função está sempre acima do eixo e cresce rapidamente à medida que aumenta.
  4. Inclua a assíntota horizontal como uma linha tracejada, indicando que o gráfico se aproxima dessa linha, mas nunca a toca.

Resposta

O gráfico da função é uma curva crescente que passa pelos pontos (0,1), (1,2,7182), (-1,0,3679), (2,7,3891) e (-2,0,1353). A curva está sempre acima do eixo , aproximando-se dele conforme diminui, e aumentando rapidamente à medida que cresce. A linha atua como uma assíntota horizontal, indicando que a função nunca atinge valor zero.

Exercícios relacionados

Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais:
(d)
Calcule
(CAEN) Seja , o valor de é:
(a)
(b)
© 2
(d)
(e)
Uma partícula desloca-se sobre o eixo com velocidade . Calcule o espaço percorrido entre os instantes e .