• Cainidere a tranformacko linear:
& T: R^3 R^2 & (x, y, z) longmapsto T(x, y, z)=(x-y-z, 2 z-x)
determin a Imagen da TransformacgST.
Cualé a dimensás do núded ea dimensas da Imagem de T?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar a imagem dessa transformação e encontrar as dimensões do núcleo e da imagem de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, imagem, núcleo e um pouco de álgebra linear, como resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de Im(T) = T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja,

Passo 3

Para encontrar a imagem, vamos expressar A = 1 & -1 & -1 -1 & 0 & 2 de forma matricial. Vamos escrever como uma matriz tal que:
Aqui, cada coluna de corresponde aos coeficientes das variáveis , , e nas componentes de .

Passo 4

A imagem de A = 1 & -1 & -1 -1 & 0 & 2 é gerada pelas colunas da matriz 1 & -1 & -1 0 & -1 & 1 . Para saber a dimensão da imagem, que chamamos de posto da matriz , precisamos verificar a independência linear das colunas. Vamos colocar a matriz em sua forma escalonada por linha.
Vamos somar a primeira linha à segunda para eliminar o na posição :

Passo 5

Agora, podemos ver que não há linhas totalmente nulas, o que significa que as colunas são linearmente independentes até o posto 2. Portanto, a dimensão da imagem de dim(Im(T)) = 2 é 2.

Passo 6

Para encontrar a dimensão do núcleo de dim(Dom(T)) = dim(Núc<=o(T)) + dim(Im(T)) , usamos o Teorema do Posto e Núcleo, que diz que:
3 = dim(Núc<=o(T)) + 2 implies dim(Núc<=o(T)) = 1 ú
Sabemos que (porque é de ) e . Então,
úú

Resposta

A imagem da transformação é todo o espaço , a dimensão do núcleo de é 1 e a dimensão da imagem de é 2.

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