determin a Imagen da TransformacgST.
Cualé a dimensás do núded ea dimensas da Imagem de T?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar a imagem dessa transformação e encontrar as dimensões do núcleo e da imagem de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, imagem, núcleo e um pouco de álgebra linear, como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja,
Passo 3
Para encontrar a imagem, vamos expressar de forma matricial. Vamos escrever como uma matriz tal que:
Aqui, cada coluna de corresponde aos coeficientes das variáveis , , e nas componentes de .
Passo 4
A imagem de é gerada pelas colunas da matriz . Para saber a dimensão da imagem, que chamamos de posto da matriz , precisamos verificar a independência linear das colunas. Vamos colocar a matriz em sua forma escalonada por linha.
Vamos somar a primeira linha à segunda para eliminar o na posição :
Passo 5
Agora, podemos ver que não há linhas totalmente nulas, o que significa que as colunas são linearmente independentes até o posto 2. Portanto, a dimensão da imagem de é 2.
Passo 6
Para encontrar a dimensão do núcleo de , usamos o Teorema do Posto e Núcleo, que diz que:
Sabemos que (porque é de ) e . Então,
Resposta
A imagem da transformação é todo o espaço , a dimensão do núcleo de é 1 e a dimensão da imagem de é 2.