- Cainidere a tranformacko linear:
determin a Imagen da TransformacgST.
Cualé a dimensás do núded ea dimensas da Imagem de T?
Cualé a dimensás do núded ea dimensas da Imagem de T?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é determinar a imagem dessa transformação e encontrar as dimensões do núcleo e da imagem de
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, imagem, núcleo e um pouco de álgebra linear, como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Ou seja,
Passo 3
Para encontrar a imagem, vamos expressar
de forma matricial. Vamos escrever
como uma matriz
tal que:
Aqui, cada coluna de
corresponde aos coeficientes das variáveis
,
, e
nas componentes de
.
Passo 4
A imagem de
é gerada pelas colunas da matriz
. Para saber a dimensão da imagem, que chamamos de posto da matriz
, precisamos verificar a independência linear das colunas. Vamos colocar a matriz
em sua forma escalonada por linha.
Vamos somar a primeira linha à segunda para eliminar o
na posição
:
Passo 5
Agora, podemos ver que não há linhas totalmente nulas, o que significa que as colunas são linearmente independentes até o posto 2. Portanto, a dimensão da imagem de
é 2.
Passo 6
Para encontrar a dimensão do núcleo de
, usamos o Teorema do Posto e Núcleo, que diz que:
Sabemos que
(porque
é de
) e
. Então,
Resposta
A imagem da transformação
é todo o espaço
, a dimensão do núcleo de
é 1 e a dimensão da imagem de
é 2.