Resolva e classifique os sistemas abaixo
x1+3 x2-2 x3+2 x5 & =0 2 x1+6 x2-5 x3-2 x4+4 x5-3 x6 & =0 5 x3+10 x4+15 x6 & =0 2 x1+6 x2+8 x4+4 x5+18 x6 & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver e classificar esse sistema de equações lineares. A matéria que vamos usar aqui é a Álgebra Linear, especificamente o método de eliminação de Gauss para resolver sistemas. Precisamos organizar as equações para encontrar os valores das incógnitas ou determinar se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5 = 0 2x1 + 6x2 - 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = 0 5x3 + 10x4 + 15x6 = 0 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0

Passo 3

Vamos começar eliminando algumas variáveis para simplificar o sistema. Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira multiplicada por 2. Vamos subtrair 2 vezes a primeira equação da segunda para eliminar 2x1 + 6x2 - 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 &= 0 -2(x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5) &= 0 hline - x3 - 2x4 = 0 e - x3 - 2x4 = 0 Rightarrow x3 = -2x4 :
Isso simplifica a segunda equação para:

Passo 4

Agora, vamos analisar a terceira equação:
5x3 + 10x4 + 15x6 = 0
Substituindo 5(-2x4) + 10x4 + 15x6 = 0 -10x4 + 10x4 + 15x6 = 0 15x6 = 0 Rightarrow x6 = 0 :

Passo 5

Com 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0 , podemos voltar à quarta equação:
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 = 0
Substituindo x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0 :
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 6

Agora, temos duas equações simplificadas:
  1. (x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5) - (x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5) = 0 -2x3 - 4x4 = 0
Subtraindo a segunda da primeira:
Já sabemos que , então isso confirma nossa relação.

Passo 7

Agora, vamos expressar x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5 em termos das outras variáveis. Da primeira equação:
x1 = -3x2 + 2(-2x4) - 2x5 = -3x2 - 4x4 - 2x5
Substituindo :

Passo 8

Agora, resumindo as relações que encontramos:
x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5 x3 = -2x4 x6 = 0
As variáveis , e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, expressas da seguinte forma:
x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5 x3 = -2x4 x6 = 0 x2, x4, x5 in R
Ou seja, temos três variáveis livres ( , , ) e as demais variáveis são expressas em termos delas.

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determin a Imagen da TransformacgST.
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  • Convidere a tranfformacas linear T: R^2 R^3 tal que
T(1,1)=(3,2,1), T(0,-2)=(0,1,0)
Determine o núcles e a Imagen de T.
Chualéa dimensar do núdeo ea dimensás da Imagem de T ?