• Convidere a tranfformacas linear T: R^2 R^3 tal que
T(1,1)=(3,2,1), T(0,-2)=(0,1,0)
Determine o núcles e a Imagen de T.
Chualéa dimensar do núdeo ea dimensás da Imagem de T ?

Passo 1

Então, bora lá! A gente tem uma transformação linear que manda o vetor para e o vetor para . Nosso objetivo é descobrir o núcleo (o conjunto de vetores que manda para o zero) e a imagem (toda a coleção dos vetores que pode produzir). Além disso, vamos ver as dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A 1 1 = 3 2 1 e A 0 -2 = 0 1 0 como uma matriz. Como estamos indo de a1 + a2 = 3 2 1 e -2a2 = 0 1 0 para , pode ser representada por uma matriz de tamanho . Sabemos que:
Vamos chamar as colunas de de e . Assim:

Passo 3

Vamos resolver para -2a2 = 0 1 0 implies a2 = 0 -12 0 na segunda equação:
a1 + 0 -12 0 = 3 2 1 implies a1 = 3 2 + 12 1 = 3 52 1
Agora, substituímos A = 3 & 0 52 & -12 1 & 0 na primeira equação:
Então, a matriz é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o núcleo de A x1 x2 = 0 0 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores 3x1 + 0x2 = 0 52x1 - 12x2 = 0 x1 + 0x2 = 0 tais que Núc<=o de T = 0 . Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolviendo, temos e, consequentemente, . Portanto, o núcleo é apenas o vetor zero:
ú

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de Ima>=m de T = span 3 52 1 , 0 -12 0 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos através de A = 3 & 0 52 & -12 1 & 0 . Como tem duas colunas, vamos olhar para a combinação linear dessas colunas:
Para ver se essas colunas são linearmente independentes, vamos montar a matriz e verificar o posto:
Claramente, as colunas não são múltiplas uma da outra, então são independentes. Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 2.

Passo 6

Finalmente, as dimensões:
dim(Núc<=o de T) = 0 e dim(Ima>=m de T) = 2 ú

Resposta

O núcleo de é apenas o vetor zero, com dimensão 0, e a imagem de é um subespaço bidimensional de , com dimensão 2.

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