Seja H=h1, h2, h3 uma base e considere os vetores:
& g1=-3 h1+h2+h3 & g2=h1-2 h2+h3 & g3=h1+2 h2
Prove que G=g1, g2, g3 também é base e calcule as coordenadas do vetor u= (2,-1,3)G na base H. Além disso, seja F=f1, f2, f3 satisfazendo
& f1=2 g1-g3 & f2=g2+2 g3 & f3=3 g1-g2
Prove que F também é uma base e encontre as matrizes de mudança de base:
a) F para G;
b) F para H;
c) G para H
d) G para F;
e) H para F;
f) H para G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício envolvendo bases em espaços vetoriais. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar.
Enunciado Resumido:
  • Temos uma base H = h1, h2, h3.
  • Foram definidos três vetores g1, g2, e g3 em termos de H.
  • Precisamos provar que G = g1, g2, g3 também é uma base.
  • Calcular as coordenadas de um vetor u = (2, -1, 3)G na base H.
  • Definir uma nova base F = f1, f2, f3 em termos de G e provar que ela também é uma base.
  • Encontrar as matrizes de mudança de base entre F, G, e H.
Conteúdos Necessários:
  • Conceito de base e linearidade.
  • Mudança de base e matrizes associadas.
  • Resolução de sistemas lineares.
Vamos começar resolvendo cada parte passo a passo!

Passo 2

Provar que G = g1, g2, g3 é uma base.
Para provar que G é uma base, precisamos mostrar que seus vetores são linearmente independentes e que eles geram todo o espaço (no caso, R^3).
Passo 2.1: Organizar os Vetores de G
Vamos primeiro escrever os vetores de G:
g1 &= -3h1 + h2 + h3 g2 &= h1 - 2h2 + h3 g3 &= h1 + 2h2
Passo 2.2: Montar a Matriz das Coordenadas de G em Relação a H
Como H é uma base, podemos representar G como uma matriz cujas colunas são as coordenadas de g1, g2, e g3 em relação a H:
-3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0
Passo 2.3: Calcular o Determinante da Matriz
Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes e G forma uma base.
Calculando o determinante:
det = -3 cdot -2 & 2 1 & 0 - 1 cdot 1 & 2 1 & 0 + 1 cdot 1 & -2 1 & 1
Calculando cada menor:
-2 & 2 1 & 0 &= (-2)(0) - (2)(1) = -2 1 & 2 1 & 0 &= (1)(0) - (2)(1) = -2 1 & -2 1 & 1 &= (1)(1) - (-2)(1) = 3
Então,
det = -3(-2) -1(-2) +1(3) = 6 +2 +3 = 11 neq 0
Conclusão: Como o determinante é diferente de zero, G é uma base de R^3.

Passo 3

Calcular as coordenadas do vetor u = (2, -1, 3)G na base H.
Aqui, u está dado em coordenadas na base G, e queremos expressá-lo nas coordenadas da base H.
Lembrando que:
u = 2g1 - g2 + 3g3
Passo 3.1: Substituir os Vetores de G em Termos de H
Já sabemos que:
g1 &= -3h1 + h2 + h3 g2 &= h1 - 2h2 + h3 g3 &= h1 + 2h2
Substituindo na expressão de u:
u &= 2(-3h1 + h2 + h3) - (h1 - 2h2 + h3) + 3(h1 + 2h2) &= (-6h1 + 2h2 + 2h3) - h1 + 2h2 - h3 + 3h1 + 6h2 &= (-6 -1 +3)h1 + (2 +2 +6)h2 + (2 -1)h3 &= (-4)h1 + 10h2 + h3
Passo 3.2: Coordenadas de u na Base H
Então, as coordenadas de u na base H são:
u = (-4, 10, 1)H

Passo 4

Provar que F = f1, f2, f3 é uma base.
Os vetores de F são definidos em termos de G:
f1 &= 2g1 - g3 f2 &= g2 + 2g3 f3 &= 3g1 - g2
Passo 4.1: Expressar F em Termos de H
Como já expressamos G em termos de H, podemos substituir:
f1 &= 2(-3h1 + h2 + h3) - (h1 + 2h2) &= -6h1 + 2h2 + 2h3 - h1 -2h2 &= -7h1 + 0h2 + 2h3 f2 &= (h1 -2h2 + h3) + 2(h1 + 2h2) &= h1 -2h2 + h3 + 2h1 +4h2 &= 3h1 +2h2 + h3 f3 &= 3(-3h1 + h2 + h3) - (h1 -2h2 + h3) &= -9h1 +3h2 +3h3 -h1 +2h2 -h3 &= -10h1 +5h2 +2h3
Passo 4.2: Montar a Matriz das Coordenadas de F em Relação a H
-7 & 3 & -10 0 & 2 & 5 2 & 1 & 2
Passo 4.3: Calcular o Determinante da Matriz
det = -7 cdot 2 & 5 1 & 2 - 3 cdot 0 & 5 2 & 2 -10 cdot 0 & 2 2 & 1
Calculando cada menor:
2 & 5 1 & 2 &= (2)(2) - (5)(1) = 4 -5 = -1 0 & 5 2 & 2 &= (0)(2) - (5)(2) = -10 0 & 2 2 & 1 &= (0)(1) - (2)(2) = -4
Então,
det = -7(-1) -3(-10) -10(-4) = 7 + 30 +40 = 77 neq 0
Conclusão: Como o determinante é diferente de zero, F também é uma base de R^3.

Passo 5

Encontrar as Matrizes de Mudança de Base:
Vamos encontrar as matrizes de mudança entre as bases F, G, e H. Vamos abordar cada item solicitado:

a) Matrizes de mudança de F para G

A matriz de mudança de base de F para G, denotada como MF G, transforma coordenadas de F para G.
Passo 5.1: Expressar F em Termos de G
Já sabemos que:
f1 &= 2g1 - g3 f2 &= g2 + 2g3 f3 &= 3g1 - g2
Podemos escrever essas relações em forma matricial:

[
f1 f2 f3 = 2 & 0 & -1 0 & 1 & 2 3 & -1 & 0 g1 g2 g3

F
G
]
Passo 5.2: Matriz de Mudança
Então, a matriz de mudança de MF G = 2 & 0 & -1 0 & 1 & 2 3 & -1 & 0 para F é:
H

b) Matrizes de mudança de MF H para F

Para encontrar H, usamos que G está em termos de F diretamente ou via H. Já expressamos F em termos de H, então usaremos essa relação.
Passo 5.3: Expressar F em Termos de H
As coordenadas de f1 &= -7h1 + 0h2 + 2h3 f2 &= 3h1 +2h2 + h3 f3 &= -10h1 +5h2 +2h3 em F são:
H
Passo 5.4: Montar a Matriz de Mudança
Assim, a matriz de mudança de MF H = -7 & 3 & -10 0 & 2 & 5 2 & 1 & 2 para G é:
H

c) Matrizes de mudança de G para H

Isso já foi realizado na Passo 2.2, mas vamos formalizar.
Passo 5.5: Expressar G em Termos de H
As coordenadas de -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 em G são dadas por:
H
Passo 5.6: Matriz de Mudança
Portanto, a matriz de mudança de MG H = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 para G é:
F

d) Matrizes de mudança de MG F para MF G

Para MG F = (MF G)^-1 , usamos a inversa de MF G, já que:
MF G = 2 & 0 & -1 0 & 1 & 2 3 & -1 & 0
Passo 5.7: Calcular a Inversa de det = 2(1 cdot 0 - 2 cdot (-1)) - 0 + (-1)(0 cdot (-1) -1 cdot 3) = 2(0 +2) +0 + (-1)(0 -3) =4 +3=7 neq 0
Vamos calcular a inversa da matriz:
MF G^-1 = 17 (1)(0) - (2)(-1) & -[(0)(0) - (2)(3)] & (0)(-1) - (1)(3) -[(0)(0) - (-1)(3)] & (2)(0) - (-1)(-1) & -[(2)(3) - (-1)(0)] (0)(-1) - (1)(1) & -[(2)(-1) - (1)(3)] & (2)(1) - (0)(3)
Primeiro, calculamos o determinante:
MF G^-1 = 17 0 +2 & -[0 -6] & 0 -3 - [0 +3] & 0 -1 & -[6 -0] 0 -1 & -[-2 -3] & 2 -0 = 17 2 & 6 & -3 -3 & -1 & -6 -1 & 5 & 2
Agora, calcular a matriz adjunta e dividir pelo determinante:
MG F = 27 & 67 & -37 -37 & -17 & -67 -17 & 57 & 27
Calculando cada elemento:
H
Então,
F

e) Matrizes de mudança de MH F para MH G

Para MG F, usamos que MH F = MG F cdot MH G e MH F = 27 & 67 & -37 -37 & -17 & -67 -17 & 57 & 27 cdot -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 já foram calculadas.
A relação entre as matrizes de mudança é:
MH F = 27(-3) + 67(1) + -37(1) & 27(1) + 67(-2) + -37(1) & 27(1) + 67(2) + -37(0) -37(-3) + -17(1) + -67(1) & -37(1) + -17(-2) + -67(1) & -37(1) + -17(2) + -67(0) -17(-3) + 57(1) + 27(1) & -17(1) + 57(-2) + 27(1) & -17(1) + 57(2) + 27(0)
Passo 5.8: Calcular a Multiplicação das Matrizes
MH F(1,1) &= -6 +6 -37 = -37 MH F(1,2) &= 2 -12 -37 = -137 MH F(1,3) &= 2 +12 +07 = 147 = 2 MH F(2,1) &= 9 -1 -67 = 27 MH F(2,2) &= -3 +2 -67 = -77 = -1 MH F(2,3) &= -3 -2 +07 = -57 MH F(3,1) &= 3 +5 +27 = 107 MH F(3,2) &= -1 -10 +27 = -97 MH F(3,3) &= -1 +10 +07 = 97
Efetuando a multiplicação:
MH F = -37 & -137 & 2 27 & -1 & -57 107 & -97 & 97
Calculando cada elemento:
H
Portanto,
G

f) Matrizes de mudança de H para G

Isso também já foi abordado anteriormente, mas vamos formalizar.
A matriz de mudança de MH G para G, denotada como H, é a inversa da matriz de MG H para MG H.
Passo 5.9: Calcular a Inversa de MG H = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0
A matriz det = -3 cdot -2 & 2 1 & 0 -1 cdot 1 & 2 1 & 0 +1 cdot 1 & -2 1 &1 = -3(-2 cdot 0 -2 cdot 1) -1(1 cdot 0 -2 cdot1) +1(1 cdot1 - (-2)cdot1) = -3(-2) -1(-2) +1(3) =6 +2 +3 =11 é:
MH G = 111 -2 & 2 1 & 0 & - 1 &2 1 &0 & 1 &-2 1 &1 -1 &1 1 &0 & -3 &1 1 &0 & --3 &1 1 &1 1 &1 -2 &2 & --3 &1 1 &2 & -3 &1 1 &-2
Vamos calcular sua inversa.
Primeiro, encontramos o determinante:
MH G(1,1) &= (-2)(0) - (2)(1) = -2 MH G(1,2) &= -[(1)(0) - (2)(1)] = -(-2) = 2 MH G(1,3) &= (1)(1) - (-2)(1) =3 MH G(2,1) &= -[(1)(0) -1(1)] = -(-1) =1 MH G(2,2) &= (-3)(0) -1(1) = -1 MH G(2,3) &= -[(-3)(1) -1(1)] = -(-3 -1) =4 MH G(3,1) &= (1)(2) -1(-2) =2 +2=4 MH G(3,2) &= -[(-3)(2) -1(1)] = -(-6 -1) =7 MH G(3,3) &= (-3)(-2) -1(1) =6 -1=5
Agora, calcular a adjunta e dividir pelo determinante:
MH G = 111 -2 & 2 &3 1 & -1 &4 4 &7 &5
Calculando cada menor:
Então,

Passo 6

Resposta Final:
  • a) A matriz de mudança de base de F para G é:
MF G = 2 & 0 & -1 0 & 1 & 2 3 & -1 & 0
  • b) A matriz de mudança de base de F para H é:
MF H = -37 & -137 & 2 27 & -1 & -57 107 & -97 & 97
  • c) A matriz de mudança de base de G para H é:
MG H = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0
  • d) A matriz de mudança de base de G para F é:
MG F = 27 & 67 & -37 -37 & -17 & -67 -17 & 57 & 27
  • e) A matriz de mudança de base de H para F é:
MH F = -37 & -137 & 2 27 & -1 & -57 107 & -97 & 97
  • f) A matriz de mudança de base de H para G é:
MH G = 111 -2 & 2 &3 1 & -1 &4 4 &7 &5

Resposta

Conforme detalhado nos passos acima, todas as bases foram comprovadas e as matrizes de mudança de base entre F, G e H foram encontradas conforme solicitado.

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