Prove que também é base e calcule as coordenadas do vetor na base . Além disso, seja satisfazendo
Prove que também é uma base e encontre as matrizes de mudança de base:
a) para ;
b) para ;
c) para
d) para ;
e) para ;
f) para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício envolvendo bases em espaços vetoriais. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar.
Enunciado Resumido:
Temos uma base .
Foram definidos três vetores , , e em termos de .
Precisamos provar que também é uma base.
Calcular as coordenadas de um vetor na base .
Definir uma nova base em termos de e provar que ela também é uma base.
Encontrar as matrizes de mudança de base entre , , e .
Conteúdos Necessários:
Conceito de base e linearidade.
Mudança de base e matrizes associadas.
Resolução de sistemas lineares.
Vamos começar resolvendo cada parte passo a passo!
Passo 2
Provar que é uma base.
Para provar que é uma base, precisamos mostrar que seus vetores são linearmente independentes e que eles geram todo o espaço (no caso, ).
Passo 2.1: Organizar os Vetores de G
Vamos primeiro escrever os vetores de :
Passo 2.2: Montar a Matriz das Coordenadas de G em Relação a H
Como é uma base, podemos representar como uma matriz cujas colunas são as coordenadas de , , e em relação a :
Passo 2.3: Calcular o Determinante da Matriz
Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes e G forma uma base.
Conforme detalhado nos passos acima, todas as bases foram comprovadas e as matrizes de mudança de base entre F, G e H foram encontradas conforme solicitado.