Seja
uma base e considere os vetores:
Prove que
também é base e calcule as coordenadas do vetor
na base
. Além disso, seja
satisfazendo
Prove que
também é uma base e encontre as matrizes de mudança de base:
a)
para
;
b)
para
;
c)
para
d)
para
;
e)
para
;
f)
para
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício envolvendo bases em espaços vetoriais. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar.
Enunciado Resumido:
- Temos uma base
. - Foram definidos três vetores
, , e em termos de . - Precisamos provar que
também é uma base. - Calcular as coordenadas de um vetor
na base . - Definir uma nova base
em termos de e provar que ela também é uma base. - Encontrar as matrizes de mudança de base entre
, , e .
Conteúdos Necessários:
- Conceito de base e linearidade.
- Mudança de base e matrizes associadas.
- Resolução de sistemas lineares.
Vamos começar resolvendo cada parte passo a passo!
Passo 2
Provar que
é uma base.
Para provar que
é uma base, precisamos mostrar que seus vetores são linearmente independentes e que eles geram todo o espaço (no caso,
).
Passo 2.1: Organizar os Vetores de G
Vamos primeiro escrever os vetores de
:
Passo 2.2: Montar a Matriz das Coordenadas de G em Relação a H
Como
é uma base, podemos representar
como uma matriz cujas colunas são as coordenadas de
,
, e
em relação a
:
Passo 2.3: Calcular o Determinante da Matriz
Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes e
G forma uma base.
Calculando o determinante:
Calculando cada menor:
Então,
Conclusão: Como o determinante é diferente de zero,
G é uma base de
R^3 .
Passo 3
Calcular as coordenadas do vetor
u = (2, -1, 3)G na base
H .
Aqui,
u está dado em coordenadas na base
G , e queremos expressá-lo nas coordenadas da base
H .
Lembrando que:
Passo 3.1: Substituir os Vetores de G em Termos de H
Já sabemos que:
Substituindo na expressão de
u :
Passo 3.2: Coordenadas de
u na Base
H
Então, as coordenadas de
u na base
H são:
Passo 4
Provar que
F = f1, f2, f3 é uma base.
Os vetores de
F são definidos em termos de
G :
Passo 4.1: Expressar F em Termos de H
Como já expressamos
G em termos de
H , podemos substituir:
Passo 4.2: Montar a Matriz das Coordenadas de F em Relação a H
Passo 4.3: Calcular o Determinante da Matriz
Calculando cada menor:
Então,
Conclusão: Como o determinante é diferente de zero,
F também é uma base de
R^3 .
Passo 5
Encontrar as Matrizes de Mudança de Base:
Vamos encontrar as matrizes de mudança entre as bases
F ,
G , e
H . Vamos abordar cada item solicitado:
a) Matrizes de mudança de
F para
G
A matriz de mudança de base de
F para
G , denotada como
MF G , transforma coordenadas de
F para
G .
Passo 5.1: Expressar F em Termos de G
Já sabemos que:
Podemos escrever essas relações em forma matricial:
[
f1 f2 f3 = 2 & 0 & -1 0 & 1 & 2 3 & -1 & 0 g1 g2 g3
]
Passo 5.2: Matriz de Mudança
Então, a matriz de mudança de
MF G = 2 & 0 & -1 0 & 1 & 2 3 & -1 & 0 para
F é:
b) Matrizes de mudança de
MF H para
F
Para encontrar
H , usamos que
G está em termos de
F diretamente ou via
H . Já expressamos
F em termos de
H , então usaremos essa relação.
Passo 5.3: Expressar F em Termos de H
As coordenadas de
f1 &= -7h1 + 0h2 + 2h3 f2 &= 3h1 +2h2 + h3 f3 &= -10h1 +5h2 +2h3 em
F são:
Passo 5.4: Montar a Matriz de Mudança
Assim, a matriz de mudança de
MF H = -7 & 3 & -10 0 & 2 & 5 2 & 1 & 2 para
G é:
c) Matrizes de mudança de
G para
H
Isso já foi realizado na Passo 2.2, mas vamos formalizar.
Passo 5.5: Expressar G em Termos de H
As coordenadas de
-3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 em
G são dadas por:
Passo 5.6: Matriz de Mudança
Portanto, a matriz de mudança de
MG H = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 para
G é:
d) Matrizes de mudança de
MG F para
MF G
Para
MG F = (MF G)^-1 , usamos a inversa de
MF G , já que:
Passo 5.7: Calcular a Inversa de
det = 2(1 cdot 0 - 2 cdot (-1)) - 0 + (-1)(0 cdot (-1) -1 cdot 3) = 2(0 +2) +0 + (-1)(0 -3) =4 +3=7 neq 0
Vamos calcular a inversa da matriz:
Primeiro, calculamos o determinante:
Agora, calcular a matriz adjunta e dividir pelo determinante:
Calculando cada elemento:
Então,
e) Matrizes de mudança de
MH F para
MH G
Para
MG F , usamos que
MH F = MG F cdot MH G e
MH F = 27 & 67 & -37 -37 & -17 & -67 -17 & 57 & 27 cdot -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 já foram calculadas.
A relação entre as matrizes de mudança é:
Passo 5.8: Calcular a Multiplicação das Matrizes
Efetuando a multiplicação:
Calculando cada elemento:
Portanto,
f) Matrizes de mudança de
H para
G
Isso também já foi abordado anteriormente, mas vamos formalizar.
A matriz de mudança de
MH G para
G , denotada como
H , é a inversa da matriz de
MG H para
MG H .
Passo 5.9: Calcular a Inversa de
MG H = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0
A matriz
det = -3 cdot -2 & 2 1 & 0 -1 cdot 1 & 2 1 & 0 +1 cdot 1 & -2 1 &1 = -3(-2 cdot 0 -2 cdot 1) -1(1 cdot 0 -2 cdot1) +1(1 cdot1 - (-2)cdot1) = -3(-2) -1(-2) +1(3) =6 +2 +3 =11 é:
Vamos calcular sua inversa.
Primeiro, encontramos o determinante:
Agora, calcular a adjunta e dividir pelo determinante:
Calculando cada menor:
Então,
Passo 6
Resposta Final:
- a) A matriz de mudança de base de
paraF é:G
- b) A matriz de mudança de base de
paraF é:H
- c) A matriz de mudança de base de
paraG é:H
- d) A matriz de mudança de base de
paraG é:F
- e) A matriz de mudança de base de
paraH é:F
- f) A matriz de mudança de base de
paraH é:G
Resposta
Conforme detalhado nos passos acima, todas as bases foram comprovadas e as matrizes de mudança de base entre
F ,
G e
H foram encontradas conforme solicitado.
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tal queT: R^2 R^3
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Verifique para os vetores
v=(4,-1,2) e
v=(-3,2,-2) as seguintes desigualdades:
(a)|u cdot v| <=|u| cdot|v| (Desigualdade de Schwarz)
(b)|u+v| <=|u|+|v| (Desigualdade Triangular)
(a)
(b)