Uma caixa de 3,00 kg que está a centenas de metros acima da superfície da terra é suspensa pela ponta de uma corda vertical com massa desprezível. Uma força para cima, dependente do tempo, é aplicada à ponta superior da corda e resulta em uma tensão de T(t)=(36,0 N / s) t sobre a corda. A caixa está em repouso em t=0. As únicas forças sobre a caixa são a tensão sobre ela e a gravidade. (a) Qual é a velocidade da caixa em (i) t=1,00 s e (ii) t=3,00 s ? (b) Qual é a distância máxima que a caixa desce abaixo de sua posição inicial? © Em que valor de t a caixa retorna à sua posição inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre uma caixa de 3,00 kg que está suspensa por uma corda vertical com massa desprezível. Uma força para cima, que muda com o tempo, é aplicada na corda, criando uma tensão . A caixa está parada no início ( ) e as únicas forças atuando nela são a tensão da corda e a gravidade. Vamos precisar usar conceitos de força, aceleração e movimento uniformemente variado para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando na caixa. Temos a tensão F = T(t) - P = T(t) - m times g para cima e o peso da caixa F = m times a Rightarrow a = Fm = T(t) - m times gm para baixo, onde e ².
A força resultante na caixa é:
Essa força resultante vai nos dar a aceleração da caixa usando a segunda lei de Newton:

Passo 3

Vamos calcular a aceleração a(t) = T(t) - m times gm = 36,0 , N/s times t - 3,00 , kg times 9,81 , m/s²3,00 , kg :
a(t) = 36,0 , t - 29,433,00 = 12,0 , t - 9,81 , m/s² ²
Simplificando:
²

Passo 4

Agora, sabemos que a aceleração é função do tempo. Para encontrar a velocidade da caixa, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A velocidade v(t) = integral a(t) , dt = integral (12,0 , t - 9,81) , dt é dada por:
v(t) = 6,0 , t² - 9,81 , t + C
Integrando termo a termo:
0 = 6,0 times 0² - 9,81 times 0 + C Rightarrow C = 0 ²
Como a caixa está em repouso em v(t) = 6,0 , t² - 9,81 , t , a velocidade inicial . Substituindo:
²
Então, a expressão da velocidade é:
²

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade nos tempos solicitados.
(a.i) v(1) = 6,0 times (1)^2 - 9,81 times 1 = 6,0 - 9,81 = -3,81 , m/s :
v(3) = 6,0 times (3)^2 - 9,81 times 3 = 6,0 times 9 - 29,43 = 54 - 29,43 = 24,57 , m/s
(a.ii) :

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a distância máxima que a caixa desce abaixo da posição inicial. Isso ocorre quando a velocidade da caixa chega a zero depois de descer.
Primeiro, vamos encontrar o tempo em que a velocidade é zero durante a descida. Usamos a equação da velocidade:
v(t) = 6,0 , t² - 9,81 , t = 0 ²
Resolvendo para 6,0 , t² - 9,81 , t = 0 Rightarrow t (6,0 , t - 9,81) = 0 :
6,0 , t - 9,81 = 0 Rightarrow t = 9,816,0 approx 1,635 , s ²
As soluções são s = integral0^1,635 v(t) , dt = integral0^1,635 (6,0 , t² - 9,81 , t) , dt (início) e:
s = 2,0 , t³ - 9,812 , t² g|0^1,635
Agora, para encontrar a distância, integramos a velocidade em relação ao tempo até s = 2,0 times (1,635)^3 - 4,905 times (1,635)^2 :
(1,635)^2 approx 2,673 e (1,635)^3 approx 4,367 ²
Integrando:
s approx 2,0 times 4,367 - 4,905 times 2,673 approx 8,734 - 13,112 approx -4,378 , m ³²
Calculando em :
Primeiro, calculamos e :
Então:
A distância máxima descendida é aproximadamente 4,38 metros.

Passo 7

Finalmente, a parte ©: encontrar o tempo em que a caixa retorna à posição inicial. Isso acontece quando a posição da caixa volta a zero após ter descido e subido de volta.
A posição s(t) = integral v(t) , dt = integral (6,0 , t² - 9,81 , t) , dt = 2,0 , t³ - 4,905 , t² + C é a integral da velocidade:
s(t) = 2,0 , t³ - 4,905 , t² ²³²
Como 2,0 , t³ - 4,905 , t² = 0 Rightarrow t² (2,0 , t - 4,905) = 0 , então 2,0 , t - 4,905 = 0 Rightarrow t = 4,9052,0 = 2,4525 , s . Então:
³²
Queremos encontrar tal que :
³²²
As soluções são e:
Portanto, a caixa retorna à posição inicial em aproximadamente 2,45 segundos.

Resposta

(a)
  • (i) A velocidade da caixa em é de aproximadamente .
  • (ii) A velocidade da caixa em é de aproximadamente .
(b) A distância máxima que a caixa desce abaixo da posição inicial é de aproximadamente .
© A caixa retorna à sua posição inicial em aproximadamente .

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