Uma caixa de que está a centenas de metros acima da superfície da terra é suspensa pela ponta de uma corda vertical com massa desprezível. Uma força para cima, dependente do tempo, é aplicada à ponta superior da corda e resulta em uma tensão de sobre a corda. A caixa está em repouso em . As únicas forças sobre a caixa são a tensão sobre ela e a gravidade. (a) Qual é a velocidade da caixa em (i) e (ii) ? (b) Qual é a distância máxima que a caixa desce abaixo de sua posição inicial? © Em que valor de a caixa retorna à sua posição inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre uma caixa de 3,00 kg que está suspensa por uma corda vertical com massa desprezível. Uma força para cima, que muda com o tempo, é aplicada na corda, criando uma tensão . A caixa está parada no início ( ) e as únicas forças atuando nela são a tensão da corda e a gravidade. Vamos precisar usar conceitos de força, aceleração e movimento uniformemente variado para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando na caixa. Temos a tensão para cima e o peso da caixa para baixo, onde e ².
A força resultante na caixa é:
Essa força resultante vai nos dar a aceleração da caixa usando a segunda lei de Newton:

Passo 3

Vamos calcular a aceleração :
²
Simplificando:
²

Passo 4

Agora, sabemos que a aceleração é função do tempo. Para encontrar a velocidade da caixa, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A velocidade é dada por:
Integrando termo a termo:
²
Como a caixa está em repouso em , a velocidade inicial . Substituindo:
²
Então, a expressão da velocidade é:
²

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade nos tempos solicitados.
(a.i) :
(a.ii) :

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a distância máxima que a caixa desce abaixo da posição inicial. Isso ocorre quando a velocidade da caixa chega a zero depois de descer.
Primeiro, vamos encontrar o tempo em que a velocidade é zero durante a descida. Usamos a equação da velocidade:
²
Resolvendo para :
²
As soluções são (início) e:
Agora, para encontrar a distância, integramos a velocidade em relação ao tempo até :
²
Integrando:
³²
Calculando em :
Primeiro, calculamos e :
Então:
A distância máxima descendida é aproximadamente 4,38 metros.

Passo 7

Finalmente, a parte ©: encontrar o tempo em que a caixa retorna à posição inicial. Isso acontece quando a posição da caixa volta a zero após ter descido e subido de volta.
A posição é a integral da velocidade:
²³²
Como , então . Então:
³²
Queremos encontrar tal que :
³²²
As soluções são e:
Portanto, a caixa retorna à posição inicial em aproximadamente 2,45 segundos.

Resposta

(a)
  • (i) A velocidade da caixa em é de aproximadamente .
  • (ii) A velocidade da caixa em é de aproximadamente .
(b) A distância máxima que a caixa desce abaixo da posição inicial é de aproximadamente .
© A caixa retorna à sua posição inicial em aproximadamente .

Exercícios relacionados

Um fio é dobrado na forma de um polígono regular de lados inscrito num círculo de raio . Se este fio for percorrido por uma corrente , mostre que o valor do campo no centro do polígono é dado por
Mostre também que, quando , este resultado tende para o valor correspondente ao de uma espira circular (use para ângulos pequenos).
Um trabalhador de uma fábrica exerce uma força horizontal para empurrar um engradado de ao longo de um piso plano por uma distância de . O coeficiente de atrito cinético entre o engradado e o piso é igual a 0,25 . (a) Qual o módulo da força aplicada pelo trabalhador? (b) Qual o trabalho realizado por essa força sobre o engradado? © Qual o trabalho realizado pelo atrito sobre o engradado? (d) Qual o trabalho realizado sobre o engradado pela força normal? E pela força da gravidade? (e) Qual o trabalho total realizado sobre o engradado?
Um campo magnético uniforme faz um angulo de com o eixo de uma espira circular de 300 voltas e um raio de 4 cm . O campo varia a uma taxa de . Determine o modulo da f.e.m. induzida na espira.