Um fio é dobrado na forma de um polígono regular de
lados inscrito num círculo de raio
. Se este fio for percorrido por uma corrente
, mostre que o valor do campo
no centro do polígono é dado por
Mostre também que, quando
, este resultado tende para o valor correspondente ao de uma espira circular (use
para ângulos pequenos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o campo magnético
no centro de um polígono regular de
lados, inscrito em um círculo de raio
, pelo qual passa uma corrente
. Além disso, precisamos mostrar que, quando o número de lados
cresce muito (tendendo ao infinito), o resultado se aproxima do campo magnético de uma espira circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular campos magnéticos gerados por correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético
gerado por um elemento de corrente
a uma distância
é dado por:
No caso de um polígono regular inscrito em um círculo de raio
, cada lado do polígono contribui para o campo magnético no centro. Devido à simetria, todos esses campos se somam de forma simples.
Passo 3
Cada lado do polígono pode ser visto como um pequeno segmento de fio através do qual passa a corrente
. A contribuição de cada lado para o campo magnético no centro será a mesma em magnitude, mas direcionada na mesma direção devido à simetria. Então, podemos calcular o campo devido a um único lado e multiplicar por
(o número de lados).
Para um segmento de reta que forma um ângulo
no centro (onde
), a contribuição do campo magnético de um lado no centro é:
Multiplicando por
, temos:
Passo 4
Agora, notamos que
pode ser relacionado à tangente usando a identidade trigonométrica:
Então, podemos reescrever o campo magnético
como:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. Quando
fica muito grande, o polígono se aproxima de uma circunferência perfeita. Nesse caso, o ângulo
se torna muito pequeno.
Sabemos que, para ângulos pequenos (em radianos),
e
. Então, podemos substituir
por
:
Esse é exatamente o campo magnético no centro de uma espira circular, confirmando que nosso resultado está correto no limite quando
.
Resposta
Portanto, demonstramos que o campo magnético no centro de um polígono regular de
lados é:
E, conforme
tende ao infinito, esse campo se aproxima de:
que é o campo magnético no centro de uma espira circular.