Um fio é dobrado na forma de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio R. Se este fio for percorrido por uma corrente i, mostre que o valor do campo B no centro do polígono é dado por
B=mu0 n i2 pi R tan (pin)
Mostre também que, quando n infty, este resultado tende para o valor correspondente ao de uma espira circular (use sen theta approx theta para ângulos pequenos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o campo magnético no centro de um polígono regular de lados, inscrito em um círculo de raio , pelo qual passa uma corrente . Além disso, precisamos mostrar que, quando o número de lados cresce muito (tendendo ao infinito), o resultado se aproxima do campo magnético de uma espira circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular campos magnéticos gerados por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I , dl times rr^2 gerado por um elemento de corrente a uma distância é dado por:
No caso de um polígono regular inscrito em um círculo de raio , cada lado do polígono contribui para o campo magnético no centro. Devido à simetria, todos esses campos se somam de forma simples.

Passo 3

Cada lado do polígono pode ser visto como um pequeno segmento de fio através do qual passa a corrente Blado = mu0 i4pi R cdot 2R sin(theta2) = mu0 i sin(pin)2pi R . A contribuição de cada lado para o campo magnético no centro será a mesma em magnitude, mas direcionada na mesma direção devido à simetria. Então, podemos calcular o campo devido a um único lado e multiplicar por B = n cdot Blado = mu0 n i sin(pin)2pi R (o número de lados).
Para um segmento de reta que forma um ângulo no centro (onde ), a contribuição do campo magnético de um lado no centro é:
Multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora, notamos que tan(pin) = sin(pin)cos(pin) pode ser relacionado à tangente usando a identidade trigonométrica:
B = mu0 n i2pi R tan(pin)
Então, podemos reescrever o campo magnético como:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando B approx mu0 n i2pi R cdot pin = mu0 i2 R tende ao infinito. Quando fica muito grande, o polígono se aproxima de uma circunferência perfeita. Nesse caso, o ângulo se torna muito pequeno.
Sabemos que, para ângulos pequenos (em radianos), e . Então, podemos substituir por :
Esse é exatamente o campo magnético no centro de uma espira circular, confirmando que nosso resultado está correto no limite quando .

Resposta

Portanto, demonstramos que o campo magnético no centro de um polígono regular de B = mu0 n i2 pi R tan (pin) lados é:
B = mu0 i2 R
E, conforme tende ao infinito, esse campo se aproxima de:
que é o campo magnético no centro de uma espira circular.

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