Um fio é dobrado na forma de um polígono regular de lados inscrito num círculo de raio . Se este fio for percorrido por uma corrente , mostre que o valor do campo no centro do polígono é dado por
Mostre também que, quando , este resultado tende para o valor correspondente ao de uma espira circular (use para ângulos pequenos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o campo magnético no centro de um polígono regular de lados, inscrito em um círculo de raio , pelo qual passa uma corrente . Além disso, precisamos mostrar que, quando o número de lados cresce muito (tendendo ao infinito), o resultado se aproxima do campo magnético de uma espira circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular campos magnéticos gerados por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético gerado por um elemento de corrente a uma distância é dado por:
No caso de um polígono regular inscrito em um círculo de raio , cada lado do polígono contribui para o campo magnético no centro. Devido à simetria, todos esses campos se somam de forma simples.

Passo 3

Cada lado do polígono pode ser visto como um pequeno segmento de fio através do qual passa a corrente . A contribuição de cada lado para o campo magnético no centro será a mesma em magnitude, mas direcionada na mesma direção devido à simetria. Então, podemos calcular o campo devido a um único lado e multiplicar por (o número de lados).
Para um segmento de reta que forma um ângulo no centro (onde ), a contribuição do campo magnético de um lado no centro é:
Multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora, notamos que pode ser relacionado à tangente usando a identidade trigonométrica:
Então, podemos reescrever o campo magnético como:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito. Quando fica muito grande, o polígono se aproxima de uma circunferência perfeita. Nesse caso, o ângulo se torna muito pequeno.
Sabemos que, para ângulos pequenos (em radianos), e . Então, podemos substituir por :
Esse é exatamente o campo magnético no centro de uma espira circular, confirmando que nosso resultado está correto no limite quando .

Resposta

Portanto, demonstramos que o campo magnético no centro de um polígono regular de lados é:
E, conforme tende ao infinito, esse campo se aproxima de:
que é o campo magnético no centro de uma espira circular.

Exercícios relacionados

Um trabalhador de uma fábrica exerce uma força horizontal para empurrar um engradado de ao longo de um piso plano por uma distância de . O coeficiente de atrito cinético entre o engradado e o piso é igual a 0,25 . (a) Qual o módulo da força aplicada pelo trabalhador? (b) Qual o trabalho realizado por essa força sobre o engradado? © Qual o trabalho realizado pelo atrito sobre o engradado? (d) Qual o trabalho realizado sobre o engradado pela força normal? E pela força da gravidade? (e) Qual o trabalho total realizado sobre o engradado?
No fundo de uma mina abandonada, o vilão, levando a mocinha como refém, é perseguido pelo mocinho. O vilão, de 70 kg , leva a mocinha, de 50 kg , dentro de um carrinho de minério de 540 kg , que corre com atrito desprezível sobre um trilho horizontal, à velocidade de . O mocinho, de 60 kg , vem logo atrás, num carrinho idêntico, à mesma velocidade. Para salvar a mocinha, o mocinho pula de um carrinho para o outro, com uma velocidade de em relação ao carrinho que deixa para trás. Calcule a velocidade de cada um dos carrinhos depois que 0 mocinho já atingiu o carrinho da frente.
Uma caixa de que está a centenas de metros acima da superfície da terra é suspensa pela ponta de uma corda vertical com massa desprezível. Uma força para cima, dependente do tempo, é aplicada à ponta superior da corda e resulta em uma tensão de sobre a corda. A caixa está em repouso em . As únicas forças sobre a caixa são a tensão sobre ela e a gravidade. (a) Qual é a velocidade da caixa em (i) e (ii) ? (b) Qual é a distância máxima que a caixa desce abaixo de sua posição inicial? © Em que valor de a caixa retorna à sua posição inicial?
Um campo magnético uniforme faz um angulo de com o eixo de uma espira circular de 300 voltas e um raio de 4 cm . O campo varia a uma taxa de . Determine o modulo da f.e.m. induzida na espira.