Um corpo move-se ao longo do eixo
, segundo a lei
onde
é expressa em metros e
em segundos.
Achar a velocidade e a aceleração num instante
qualquer;
Achar a velocidade e a aceleração num instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. Aqui, um corpo está se movendo ao longo do eixo $ X $ seguindo a equação da posição:
Onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. O que a gente precisa fazer é encontrar a velocidade e a aceleração desse corpo em qualquer instante $ t $.
Passo 2
Primeiro, para achar a velocidade, a gente precisa lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função $ x(t) $ para encontrar a velocidade $ v(t) $.
A função dada é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos derivar $ x(t) $ para encontrar $ v(t) $:
- A derivada de $ 2 t^{3} $ é $ 6 t^{2} $ (usando a regra da potência: $ \frac{d}{dt} t^{n} = n t^{n-1} $)
- A derivada de $ 5 t^{2} $ é $ 10 t $
- A derivada de $ 5 $ (uma constante) é $ 0 $
Então, somando tudo:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Vamos derivar $ v(t) = 6 t^{2} + 10 t $:
- A derivada de $ 6 t^{2} $ é $ 12 t $
- A derivada de $ 10 t $ é $ 10 $
Então, somando:
Resposta
A velocidade do corpo em qualquer instante $ t $ é:
E a aceleração é: