Um corpo move-se ao longo do eixo X, segundo a lei
x=2 t^3+5 t^2+5
onde x é expressa em metros e t em segundos.
Achar a velocidade e a aceleração num instante t qualquer;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. Aqui, um corpo está se movendo ao longo do eixo $ X $ seguindo a equação da posição:
X
Onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. O que a gente precisa fazer é encontrar a velocidade e a aceleração desse corpo em qualquer instante $ t $.

Passo 2

Primeiro, para achar a velocidade, a gente precisa lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função $ x(t) $ para encontrar a velocidade $ v(t) $.
A função dada é:
x(t)
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos derivar $ x(t) $ para encontrar $ v(t) $:
  • A derivada de $ 2 t^{3} $ é $ 6 t^{2} $ (usando a regra da potência: $ \frac{d}{dt} t^{n} = n t^{n-1} $)
  • A derivada de $ 5 t^{2} $ é $ 10 t $
  • A derivada de $ 5 $ (uma constante) é $ 0 $
Então, somando tudo:
x(t)

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Vamos derivar $ v(t) = 6 t^{2} + 10 t $:
  • A derivada de $ 6 t^{2} $ é $ 12 t $
  • A derivada de $ 10 t $ é $ 10 $
Então, somando:
v(t) = 6 t^2 + 10 t

Resposta

A velocidade do corpo em qualquer instante $ t $ é:
t
E a aceleração é:
v(t) = 6 t^2 + 10 t metros por segundo

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