A caixa de 50 lb é içada pelo motor M. Se a caixa parte do repouso e, por aceleração constante, atinge uma velocidade após subir , determine a potência que deve ser fornecido ao motor no instante que . O motor tem eficiência 0,65. Despreze a massa da polia e o cabo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma caixa que pesa 50 lb sendo içada por um motor. A caixa parte do repouso e, com aceleração constante, atinge uma velocidade de após subir . Queremos descobrir qual é a potência que o motor precisa fornecer exatamente quando a caixa está a 10 pés do chão. Além disso, sabemos que o motor tem uma eficiência de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinematica (movimento com aceleração constante), força e potência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da caixa. Como a caixa parte do repouso e atinge uma velocidade final após subir , podemos usar a equação de movimento com aceleração constante:
Aqui, é a velocidade inicial (que é 0 porque parte do repouso), é a velocidade final, é a aceleração e é a distância percorrida.
Substituindo os valores:
Então, a aceleração da caixa é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a força total que o motor precisa exercer para levantar a caixa com essa aceleração. A força total necessária é a soma da força para vencer o peso da caixa e a força para acelerar a caixa. A fórmula é:
No sistema imperial, onde o peso já inclui a aceleração da gravidade ( ), a massa pode ser expressa como . Então, podemos reescrever a equação da força como:
Substituindo os valores:
Então, a força total que o motor precisa exercer é .

Passo 4

Com a força e a velocidade no instante em que a caixa está a 10 pés, podemos calcular a potência instantânea fornecida pelo motor usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Portanto, a potência necessária é .

Passo 5

Mas calma aí, o motor não é 100% eficiente. Sabemos que a eficiência , o que significa que apenas 65% da potência fornecida pelo motor é utilizada para fazer o trabalho útil. Assim, para encontrar a potência que o motor realmente precisa fornecer ( ), usamos:

Resposta

A potência que o motor deve fornecer no instante em que a caixa está a 10 pés de altura é aproximadamente , o que equivale a cerca de cavalos-vapor ( ).

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