A caixa de 50 lb é içada pelo motor M. Se a caixa parte do repouso e, por aceleração constante, atinge uma velocidade 12 ft / s após subir s=10 ft, determine a potência que deve ser fornecido ao motor no instante que s=10 ft. O motor tem eficiência varepsilon= 0,65. Despreze a massa da polia e o cabo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma caixa que pesa 50 lb sendo içada por um motor. A caixa parte do repouso e, com aceleração constante, atinge uma velocidade de após subir . Queremos descobrir qual é a potência que o motor precisa fornecer exatamente quando a caixa está a 10 pés do chão. Além disso, sabemos que o motor tem uma eficiência de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinematica (movimento com aceleração constante), força e potência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da caixa. Como a caixa parte do repouso e atinge uma velocidade final v^2 = u^2 + 2 a s após subir 12^2 = 0 + 2 cdot a cdot 10 , podemos usar a equação de movimento com aceleração constante:
144 = 20 a
Aqui, a = 14420 = 7,2 , ft/s^2 é a velocidade inicial (que é 0 porque parte do repouso), é a velocidade final, é a aceleração e é a distância percorrida.
Substituindo os valores:
Então, a aceleração da caixa é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a força total que o motor precisa exercer para levantar a caixa com essa aceleração. A força total F = W + m a necessária é a soma da força para vencer o peso da caixa e a força para acelerar a caixa. A fórmula é:
F = W + Wg a = W (1 + ag)
No sistema imperial, onde o peso F = 50 (1 + 7,232) = 50 (1 + 0,225) = 50 times 1,225 = 61,25 , lb já inclui a aceleração da gravidade ( ), a massa pode ser expressa como . Então, podemos reescrever a equação da força como:
Substituindo os valores:
Então, a força total que o motor precisa exercer é .

Passo 4

Com a força P = F cdot v e a velocidade P = 61,25 times 12 = 735 , ft cdot lb/s no instante em que a caixa está a 10 pés, podemos calcular a potência instantânea fornecida pelo motor usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Portanto, a potência necessária é .

Passo 5

Mas calma aí, o motor não é 100% eficiente. Sabemos que a eficiência Pmotor = Pvarepsilon = 7350,65 approx 1130,77 , ft cdot lb/s , o que significa que apenas 65% da potência fornecida pelo motor é utilizada para fazer o trabalho útil. Assim, para encontrar a potência que o motor realmente precisa fornecer ( ), usamos:

Resposta

A potência que o motor deve fornecer no instante em que a caixa está a 10 pés de altura é aproximadamente , o que equivale a cerca de cavalos-vapor ( ).

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