Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter
de capacidade. Se não há perdas na construção, determine, se possível, as dimensões que exigem o mínimo do material.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa sem tampa, com base quadrada, que deve ter um volume de
. Queremos descobrir quais são as dimensões dessa caixa que usam a menor quantidade de material possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização na geometria, especificamente minimizando a área superficial para um volume fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de
metros. A altura da caixa será chamada de
metros.
Passo 3
O volume da caixa é dado por:
Sabemos que
, então:
Podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, precisamos minimizar a quantidade de material, ou seja, a área superficial da caixa. A caixa sem tampa tem uma área formada pela base e pelas quatro laterais. A área superficial
é:
Substituindo
por
:
Passo 5
Para encontrar o mínimo da área, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Portanto:
Passo 7
Agora, encontramos
. Vamos calcular
usando:
Resposta
As dimensões que minimizam o material são aproximadamente
para o lado da base e
para a altura.