Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 1 m^3 de capacidade. Se não há perdas na construção, determine, se possível, as dimensões que exigem o mínimo do material.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa sem tampa, com base quadrada, que deve ter um volume de . Queremos descobrir quais são as dimensões dessa caixa que usam a menor quantidade de material possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização na geometria, especificamente minimizando a área superficial para um volume fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de metros. A altura da caixa será chamada de metros.

Passo 3

O volume da caixa é dado por:
Sabemos que , então:
Podemos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, precisamos minimizar a quantidade de material, ou seja, a área superficial da caixa. A caixa sem tampa tem uma área formada pela base e pelas quatro laterais. A área superficial é:
Substituindo por :

Passo 5

Para encontrar o mínimo da área, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 2:
Portanto:

Passo 7

Agora, encontramos . Vamos calcular usando:

Resposta

As dimensões que minimizam o material são aproximadamente para o lado da base e para a altura.

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