Uma turbina eólica converte a energia cinética do vento em energia elétrica. Suponha que a potência P(v), em watts, gerada por uma turbina seja uma função da velocidade do vento v, dada por:
P(v) = alpha * v^3
onde alpha é uma constante de proporcionalidade que depende das características da turbina.
Discuta o comportamento da função P(v) conforme a velocidade do vento aumenta.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma questão de física aqui sobre turbinas eólicas. O problema fala sobre como a potência gerada por uma turbina, que a gente chama de , depende da velocidade do vento . A função que relaciona essas duas coisas é , onde é uma constante que depende da turbina. Nosso objetivo aqui é entender como essa potência muda conforme a velocidade do vento aumenta. Vamos precisar entender um pouco sobre funções matemáticas e como elas se comportam quando aumentamos o valor da variável, nesse caso, a velocidade .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Essa é uma função do terceiro grau em relação a , o que significa que a potência depende do cubo da velocidade do vento. A constante representa as características específicas da turbina, como o tamanho das pás e a eficiência do gerador.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando a velocidade do vento aumenta. Como é igual a vezes elevado a 3, qualquer aumento em vai ser amplificado pelo expoente 3. Isso significa que se a velocidade do vento dobrar, a potência gerada não vai apenas dobrar, mas vai multiplicar por .

Passo 4

Vamos ilustrar isso com um exemplo. Suponha que a velocidade do vento seja 2 m/s e . Então, watts. Se a velocidade do vento aumentar para 3 m/s, a potência será watts. Viu como a potência aumenta rapidamente conforme a velocidade do vento cresce?

Passo 5

Esse comportamento de aumento rápido é característico das funções polinomiais com expoentes maiores que 1. No nosso caso, como o expoente é 3, temos um crescimento cúbico. Isso significa que pequenas variações na velocidade do vento resultam em mudanças muito maiores na potência gerada pela turbina.

Passo 6

Além disso, é importante notar que esse modelo simplificado assume que outros fatores permanecem constantes, como a densidade do ar e a eficiência da turbina. Na prática, há limites físicos para a velocidade do vento que uma turbina pode aproveitar, mas dentro do nosso modelo matemático, a potência continua aumentando conforme aumenta.

Resposta

Então, resumindo, conforme a velocidade do vento aumenta, a potência gerada pela turbina eólica cresce de forma cúbica, ou seja, a potência aumenta rapidamente à medida que a velocidade do vento aumenta.

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