Calcule, se possível, integral-1^1(2x^4) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais, mais especificamente integrais impróprias, porque a função tem um ponto onde não está definida, que é quando . Para resolver isso, vamos dividir o problema em partes para analisar se a integral existe ou se ela diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função não está definida. Vemos que no denominador temos , que é igual a zero quando . Isso significa que a função tem uma descontinuidade no ponto , criando uma assíntota vertical nesse ponto.

Passo 3

Devido a essa descontinuidade, a integral integral-1^1(2x^4) dx = lima to 0^- integral-1^a(2x^4) dx + limb to 0^+ integralb^1(2x^4) dx é uma integral imprópria. Para avaliar uma integral imprópria, geralmente dividimos a integral em limites que evitam o ponto de descontinuidade. Então, vamos reescrever a integral como o limite quando se aproxima de 0:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral de integral 2x^4 dx = 2 integral x^-4 dx = 2 ( x^-3-3 ) + C = -23x^3 + C :

Passo 5

Aplicando os limites para a primeira parte:
lima to 0^- [ -23x^3 ]-1^a = lima to 0^- ( -23a^3 + 23(-1)^3 ) = lima to 0^- ( -23a^3 - 23 )
À medida que se aproxima de 0 pela esquerda, se aproxima de 0 e negativo, então tende a .

Passo 6

Para a segunda parte:
limb to 0^+ [ -23x^3 ]b^1 = limb to 0^+ ( -23(1)^3 + 23b^3 ) = limb to 0^+ ( -23 + 23b^3 )
Aqui, conforme se aproxima de 0 pela direita, se aproxima de 0 e positivo, então tende a .

Passo 7

Como ambas as partes da integral tendem ao infinito, a integral total também tende ao infinito. Isso significa que a integral não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral não existe pois diverge para o infinito.

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