Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo , de modo que a densidade de carga em é (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a carga total distribuída em um retângulo onde as coordenadas vão de a em e de a em . A densidade de carga é dada por , que está em coulombs por metro quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente uma integral dupla, porque estamos lidando com uma distribuição de carga em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a carga total () é calculada integrando a densidade de carga sobre toda a área do retângulo. Isso significa que vamos somar todas as pequenas cargas presentes em cada ponto do retângulo.
Passo 3
A fórmula para a carga total é:
Aqui, representa um elemento infinitesimal de área no retângulo. Como a densidade , substituímos na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando cada termo:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: