Uma caixa contém 14 etiquetas numeradas, oito com números positivos e seis com números negativos. Quatro delas são extraídas simultaneamente e os números marcados são multiplicados. De quantas formas as etiquetas podem ser sorteadas de modo que o produto obtido seja positivo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! Temos uma caixa com 14 etiquetas: 8 com números positivos e 6 com números negativos. A gente vai tirar 4 etiquetas de uma vez e multiplicar os números nelas. A pergunta é: de quantas jeitos diferentes a gente pode sortear essas etiquetas de forma que o produto seja positivo.
Para resolver isso, vamos usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as diferentes formas de selecionar itens de um conjunto. Precisaremos calcular combinações, que são as maneiras de escolher itens sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando o produto de quatro números vai ser positivo. O produto de números é positivo se:
- Todos os números são positivos.
- Há um número par de negativos (ou seja, 2 ou 4 negativos).
Então, vamos calcular quantas maneiras temos para cada um desses casos e somar tudo no final.
Passo 3
Total de maneiras de escolher 4 etiquetas de 14:
Para começar, vamos calcular quantas combinações possíveis existem para escolher 4 etiquetas de um total de 14. Usamos a fórmula da combinação:
Onde:
- $ n = 14 $ (total de etiquetas)
- $ k = 4 $ (etiquetas a serem escolhidas)
Então,
Passo 4
Caso 1: Todas as 4 etiquetas são positivas (0 negativas).
Aqui, queremos escolher 4 etiquetas dos 8 positivos.
Passo 5
Caso 2: Duas etiquetas negativas e duas positivas.
Nesta situação, escolhemos 2 etiquetas das 6 negativas e 2 das 8 positivas.
Primeiro, as negativas:
Depois, as positivas:
Multiplicamos as duas combinações para obter o total deste caso:
Passo 6
Caso 3: Todas as 4 etiquetas são negativas (4 negativas).
Aqui, escolhemos 4 etiquetas das 6 negativas.
Passo 7
Somando todos os casos que resultam em produto positivo:
- Todas positivas: 70
- Duas negativas e duas positivas: 420
- Todas negativas: 15
Total de maneiras:
Resposta
Existem 505 formas de sortear as etiquetas de modo que o produto obtido seja positivo.