Uma caixa contém 14 etiquetas numeradas, oito com números positivos e seis com números negativos. Quatro delas são extraídas simultaneamente e os números marcados são multiplicados. De quantas formas as etiquetas podem ser sorteadas de modo que o produto obtido seja positivo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! Temos uma caixa com 14 etiquetas: 8 com números positivos e 6 com números negativos. A gente vai tirar 4 etiquetas de uma vez e multiplicar os números nelas. A pergunta é: de quantas jeitos diferentes a gente pode sortear essas etiquetas de forma que o produto seja positivo.
Para resolver isso, vamos usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as diferentes formas de selecionar itens de um conjunto. Precisaremos calcular combinações, que são as maneiras de escolher itens sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando o produto de quatro números vai ser positivo. O produto de números é positivo se:
  • Todos os números são positivos.
  • Há um número par de negativos (ou seja, 2 ou 4 negativos).
Então, vamos calcular quantas maneiras temos para cada um desses casos e somar tudo no final.

Passo 3

Total de maneiras de escolher 4 etiquetas de 14:
Para começar, vamos calcular quantas combinações possíveis existem para escolher 4 etiquetas de um total de 14. Usamos a fórmula da combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n = 14 $ (total de etiquetas)
  • $ k = 4 $ (etiquetas a serem escolhidas)
Então,
n = 14

Passo 4

Caso 1: Todas as 4 etiquetas são positivas (0 negativas).
Aqui, queremos escolher 4 etiquetas dos 8 positivos.
C(8, 4) = 8!4! times 4! = 70 maneiras

Passo 5

Caso 2: Duas etiquetas negativas e duas positivas.
Nesta situação, escolhemos 2 etiquetas das 6 negativas e 2 das 8 positivas.
Primeiro, as negativas:
C(6, 2) = 6!2! times 4! = 15 maneiras
Depois, as positivas:
C(8, 2) = 8!2! times 6! = 28 maneiras
Multiplicamos as duas combinações para obter o total deste caso:
15 times 28 = 420 maneiras

Passo 6

Caso 3: Todas as 4 etiquetas são negativas (4 negativas).
Aqui, escolhemos 4 etiquetas das 6 negativas.
C(6, 4) = 6!4! times 2! = 15 maneiras

Passo 7

Somando todos os casos que resultam em produto positivo:
  • Todas positivas: 70
  • Duas negativas e duas positivas: 420
  • Todas negativas: 15
Total de maneiras:
70 + 420 + 15 = 505 maneiras

Resposta

Existem 505 formas de sortear as etiquetas de modo que o produto obtido seja positivo.

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