Dada uma matriz A quadrada de ordem n, ela é dita invertível se existir uma matriz B, de mesma ordem, tal que: AB = BA = In, a matriz B é chamada de inversa da matriz A e é indicada por A-1. Sobre esse conceito analise as seguintes afirmações classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F), considerando A uma matriz quadrada: ( ) Se A é uma matriz invertível, então det(A) ≠ 0. ( ) O método da matriz adjunta é o único método para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada. ( ) Se A é uma matriz invertível, então A-1 também é invertível. Assinale a alternativa que forneça a sequência correta com relação ao julgamento das afirmações. Escolha uma:
a.V – V – F.
b.V – F – V.
c.F – V – V.
d.F – F – F.
e.V – V – V.
a.V – V – F.
b.V – F – V.
c.F – V – V.
d.F – F – F.
e.V – V – V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre matrizes quadradas e inversibilidade. Precisamos analisar três afirmações para ver se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz invertível, o determinante de uma matriz e métodos para encontrar a inversa. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeira afirmação: “Se A é uma matriz invertível, então det(A) ≠ 0.”
Pra uma matriz ser invertível, ela precisa ter uma inversa. Um ponto importante da teoria é que uma matriz tem inversa se e somente se o seu determinante não é zero. Isso porque o determinante é uma medida que nos diz se a matriz tem solução única, entre outras coisas. Então, se A é invertível, det(A) realmente não pode ser zero.
Essa afirmação é verdadeira (V).
Passo 3
Segunda afirmação: “O método da matriz adjunta é o único método para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada.”
O método da matriz adjunta é uma das formas de encontrar a inversa, mas não é a única. Existem outros métodos, como a eliminação de Gauss-Jordan, uso de cofatores, ou até usando softwares e calculadoras. Portanto, dizer que é o único método não é correto.
Essa afirmação é falsa (F).
Passo 4
Terceira afirmação: “Se A é uma matriz invertível, então A⁻¹ também é invertível.”
Se A é invertível, isso significa que existe uma matriz A⁻¹ tal que A * A⁻¹ = I, onde I é a matriz identidade. Agora, para A⁻¹ ser invertível, precisamos de uma matriz B tal que A⁻¹ * B = I. Mas, na verdade, A é a inversa de A⁻¹, porque A⁻¹ * A = I. Então, A inversa de A⁻¹ é A, o que confirma que A⁻¹ também tem inversa.
Essa afirmação é verdadeira (V).
Resposta
A sequência correta é: V – F – V. Portanto, a alternativa escolhida é a b.V – F – V.