Uma caixa cúbica está cheia de areia e pesa 890 N . desejamos fazer a caixa rolar, empurrando - a horizontalmente por uma das bordas superiores. (a) Qual é a menor força necessária? (b) Qual é o menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e piso? © Se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, determine a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma caixa cúbica cheia de areia que pesa 890 N. Precisamos resolver três partes:
a) A menor força horizontal que devemos aplicar numa das bordas superiores para fazer a caixa rolar.
b) O menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e o piso.
c) Se há um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, determinar a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria envolvida.
Passo 2
Parte (a)
Vamos encontrar a menor força horizontal necessária para iniciar o movimento de rotação da caixa.
Para isso, vamos utilizar o conceito de torque. Torque é uma medida da tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto. A fórmula do torque (
) é:
onde:
-
é a força aplicada, -
é a distância perpendicular ao ponto de rotação.
Passo 3
Considerando que a força
é aplicada na borda superior da caixa, a distância
será igual ao comprimento da caixa
. O torque causado pela força será então:
Por outro lado, o peso da caixa
atua no centro de massa, que está a uma distância de
do ponto de rotação. O torque devido ao peso será:
Passo 4
Para que a caixa comece a rolar, o torque causado pela força
deve ser igual ao torque causado pelo peso
:
Podemos simplificar
dos dois lados da equação:
Substituindo o valor de
:
Passo 5
Parte (b)
Agora, vamos determinar o menor coeficiente de atrito estático (
) necessário entre a caixa e o piso para impedir que a caixa deslize enquanto começa a rolar.
O atrito estático também gera um torque que contrabalança o torque do peso da caixa. A força de atrito
é dada por:
onde
é a força normal, que neste caso é igual ao peso da caixa:
Portanto:
O torque devido ao atrito será:
Passo 6
Para que a caixa comece a rolar sem deslizar, o torque do atrito deve ser igual ao torque da força aplicada:
Simplificando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Parte ©
Agora, vamos verificar se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, ou seja, determinar a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça.
Uma forma mais eficiente é aplicar a força de tal maneira que maximize o torque gerado. Isso pode ser feito aplicando a força na borda superior, conforme já fizemos na parte (a). Alternativamente, aplicar a força mais próxima do ponto de rotação reduz a necessidade de força, mas nesse caso específico, já aplicamos a força no ponto mais eficiente para gerar torque.
Portanto, a menor força possível para iniciar a rotação continua sendo 445 N.
Resposta
a) A menor força necessária para fazer a caixa rolar é 445 N.
b) O menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e o piso é 1.
c) A menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que ela role de forma eficiente é também 445 N.
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