Uma caixa cúbica está cheia de areia e pesa 890 N . desejamos fazer a caixa rolar, empurrando - a horizontalmente por uma das bordas superiores. (a) Qual é a menor força necessária? (b) Qual é o menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e piso? © Se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, determine a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma caixa cúbica cheia de areia que pesa 890 N. Precisamos resolver três partes:
a) A menor força horizontal que devemos aplicar numa das bordas superiores para fazer a caixa rolar.
b) O menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e o piso.
c) Se há um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, determinar a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria envolvida.

Passo 2

Parte (a)

Vamos encontrar a menor força horizontal necessária para iniciar o movimento de rotação da caixa.
Para isso, vamos utilizar o conceito de torque. Torque é uma medida da tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto. A fórmula do torque ( tau = F times d ) é:
onde:
  • é a força aplicada,
  • é a distância perpendicular ao ponto de rotação.

Passo 3

Considerando que a força tauF = F times L é aplicada na borda superior da caixa, a distância tauP = P times L2 será igual ao comprimento da caixa . O torque causado pela força será então:
Por outro lado, o peso da caixa atua no centro de massa, que está a uma distância de do ponto de rotação. O torque devido ao peso será:

Passo 4

Para que a caixa comece a rolar, o torque causado pela força F times L = P times L2 deve ser igual ao torque causado pelo peso F = P2 :
F = 890, N2 = 445, N
Podemos simplificar dos dois lados da equação:
Substituindo o valor de :

Passo 5

Parte (b)

Agora, vamos determinar o menor coeficiente de atrito estático ( f = mus times N ) necessário entre a caixa e o piso para impedir que a caixa deslize enquanto começa a rolar.
O atrito estático também gera um torque que contrabalança o torque do peso da caixa. A força de atrito N = P = 890, N é dada por:
f = mus times 890, N
onde tauf = f times L2 = mus times 890, N times L2 é a força normal, que neste caso é igual ao peso da caixa:
Portanto:
O torque devido ao atrito será:

Passo 6

Para que a caixa comece a rolar sem deslizar, o torque do atrito deve ser igual ao torque da força aplicada:
mus times 890, N times L2 = 445, N times L
Simplificando mus times 890, N times 12 = 445, N :
mus times 445, N = 445, N
mus = 1
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Parte ©

Agora, vamos verificar se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, ou seja, determinar a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça.
Uma forma mais eficiente é aplicar a força de tal maneira que maximize o torque gerado. Isso pode ser feito aplicando a força na borda superior, conforme já fizemos na parte (a). Alternativamente, aplicar a força mais próxima do ponto de rotação reduz a necessidade de força, mas nesse caso específico, já aplicamos a força no ponto mais eficiente para gerar torque.
Portanto, a menor força possível para iniciar a rotação continua sendo 445 N.

Resposta

a) A menor força necessária para fazer a caixa rolar é 445 N.
b) O menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e o piso é 1.
c) A menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que ela role de forma eficiente é também 445 N.

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