No Problema Resolvido 1-5, as constantes e foram combinadas para obter uma grandeza com as dimensões de tempo. Repita a dedução para obter a grandeza com as dimensões de comprimento, e calcule o resultado numericamente. Ignore qualquer constante adimensional. Este é o comprimento de Planck, o tamanho do universo observável no tempo de Planck.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as constantes (constante de Planck), (constante gravitacional) e (velocidade da luz) para descobrir uma grandeza com dimensões de comprimento. Isso está na área de física conhecida como análise dimensional, onde combinamos constantes físicas para obter unidades específicas. Nosso objetivo final é encontrar o comprimento de Planck, que representa o maior tamanho que o universo observável pode ter no tempo de Planck.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as dimensões de cada constante envolvida:
Constante de Planck : Sua dimensão é de ação, que em termos de unidades fica como , onde é massa, é comprimento e é tempo.
Constante gravitacional : Sua dimensão é .
Velocidade da luz : Sua dimensão é .
Essas dimensões vão nos ajudar a combinar as constantes de maneira correta para obter uma dimensão de comprimento.
Passo 3
Vamos supor que o comprimento de Planck pode ser expresso como uma combinação dessas constantes:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes , e que fazem essa combinação resultar em uma dimensão de comprimento .
Passo 4
Agora, substituímos as dimensões das constantes na equação:
Isso se traduz em:
Para que as dimensões coincidam, precisamos que os expoentes de , e sejam iguais nos dois lados da equação.
Passo 5
Igualando os expoentes para cada dimensão:
Para :
Para :
Para :
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Passo 6
Substituindo na segunda e terceira equações:
Na segunda equação:
Na terceira equação:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Como , temos .
Substituindo na terceira equação:
Passo 7
Agora que temos , e , substituímos esses valores na expressão original para :
Simplificando:
Passo 8
Para calcular numericamente o comprimento de Planck, usamos os valores conhecidos das constantes: