Dois objetos iniciam uma queda livre desde o repouso, de uma mesma altura, e defasados de
. Quanto tempo após o lançamento do primeiro objeto os dois objetos estarão separados de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois objetos que começam a cair livremente do repouso, ou seja, sem velocidade inicial, a partir da mesma altura. O segundo objeto é lançado com um atraso de
. Queremos descobrir quanto tempo, após o lançamento do primeiro objeto, os dois estarão separados por
.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de cinemática no movimento uniformemente acelerado, especificamente as equações que descrevem a posição dos objetos em queda livre.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve a posição de um objeto em queda livre a partir do repouso:
Aqui,
é a posição em função do tempo
,
é a aceleração da gravidade (
), e
é o tempo.
Passo 3
Agora, vamos definir as posições dos dois objetos:
- Primeiro objeto (A): Começa a cair no tempo
. Sua posição em qualquer instante será:
- Segundo objeto (B): Começa a cair com um atraso de
. Portanto, para o tempo , sua posição será:
Antes de
, o segundo objeto ainda não foi lançado, então
.
Passo 4
Queremos encontrar o tempo
em que a distância entre os dois objetos é de
. Matematicamente, isso significa:
Substituindo as equações das posições:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Explicando: expandimos
que resulta em
.
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a equação fica:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Agora, substituindo
:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por 9,8:
Agora, somamos 1 em ambos os lados:
Finalmente, dividimos por 2:
Resposta
Os dois objetos estarão separados por
aproximadamente
após o lançamento do primeiro objeto.
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No Problema Resolvido 1-5, as constantes
e
foram combinadas para obter uma grandeza com as dimensões de tempo. Repita a dedução para obter a grandeza com as dimensões de comprimento, e calcule o resultado numericamente. Ignore qualquer constante adimensional. Este é o comprimento de Planck, o tamanho do universo observável no tempo de Planck.
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