Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30)
(30)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite:
Esse exercício envolve cálculo de limites e usa propriedades de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver, vamos precisar entender como funções se comportam perto de certos pontos e talvez usar algumas aproximações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1. Substituindo diretamente:
Então, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que a gente precisa encontrar uma maneira de simplificar ou usar uma regra para calcular o limite.
Passo 3
Uma técnica útil aqui é usar a aproximação de
para valores pequenos de
. Quando
é próximo de 0, temos:
No nosso caso,
está se aproximando de 0 quando
se aproxima de 1. Então, podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo a aproximação no limite, temos:
Agora, observe que
pode ser fatorado:
Então, substituindo de novo:
Passo 5
Agora, podemos calcular o limite substituindo
por 1:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para
da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante
) é de
faça o que se pede: Resolva o problema de valor inicial associado, de modo a determine a massa
, em gramas, que ainda permanece após decorrido
anos.
Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de
, encontre a função
que fornece o nível d’água em um instante
.