Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite:
Esse exercício envolve cálculo de limites e usa propriedades de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver, vamos precisar entender como funções se comportam perto de certos pontos e talvez usar algumas aproximações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1. Substituindo diretamente:
Então, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que a gente precisa encontrar uma maneira de simplificar ou usar uma regra para calcular o limite.
Passo 3
Uma técnica útil aqui é usar a aproximação de
para valores pequenos de
. Quando
é próximo de 0, temos:
No nosso caso,
está se aproximando de 0 quando
se aproxima de 1. Então, podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo a aproximação no limite, temos:
Agora, observe que
pode ser fatorado:
Então, substituindo de novo:
Passo 5
Agora, podemos calcular o limite substituindo
por 1:
Resposta
O limite é
.