Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite:
Esse exercício envolve cálculo de limites e usa propriedades de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver, vamos precisar entender como funções se comportam perto de certos pontos e talvez usar algumas aproximações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 1. Substituindo diretamente:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que a gente precisa encontrar uma maneira de simplificar ou usar uma regra para calcular o limite.

Passo 3

Uma técnica útil aqui é usar a aproximação de para valores pequenos de . Quando é próximo de 0, temos:
No nosso caso, está se aproximando de 0 quando se aproxima de 1. Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo a aproximação no limite, temos:
Agora, observe que pode ser fatorado:
Então, substituindo de novo:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo por 1:

Resposta

O limite é .

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Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante ) é de faça o que se pede: Resolva o problema de valor inicial associado, de modo a determine a massa , em gramas, que ainda permanece após decorrido anos.
Um caixa d’água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m . Se inicialmente a caixa está vazia e a água está sendo bombeada para dentro da caixa a uma taxa de , encontre a função que fornece o nível d’água em um instante .