Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(30) lim x 1 x-1sen(x^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite:
limx 1 x - 1sin(x^2 - 1)
Esse exercício envolve cálculo de limites e usa propriedades de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver, vamos precisar entender como funções se comportam perto de certos pontos e talvez usar algumas aproximações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando x - 1 = 1 - 1 = 0 se aproxima de 1. Substituindo diretamente:
x^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0
sin(x^2 - 1) = sin(0) = 0
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que a gente precisa encontrar uma maneira de simplificar ou usar uma regra para calcular o limite.

Passo 3

Uma técnica útil aqui é usar a aproximação de sin(y) approx y para valores pequenos de sin(x^2 - 1) approx x^2 - 1 . Quando é próximo de 0, temos:
No nosso caso, está se aproximando de 0 quando se aproxima de 1. Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo a aproximação no limite, temos:
limx 1 x - 1sin(x^2 - 1) approx limx 1 x - 1x^2 - 1
Agora, observe que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) pode ser fatorado:
limx 1 x - 1(x - 1)(x + 1) = limx 1 1x + 1
Então, substituindo de novo:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo 11 + 1 = 12 por 1:

Resposta

O limite é .

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