T.L. para o quadrimomentum. Uma partícula de massa de repouso m0 desloca-se com velocidade v no sentido positivo dos x de um sistema de referência inercial S. Nesse referencial as componentes do seu momentum linear relativístico são px=gammav m0 v e py=pz=0, onde gammav=(1-v^2 / c^2)^-1 / 2. A sua energia relativística total é E=gammav m0 c^2. Num sistema S^prime que desloca-se no sentido positivo do eixo x com uma velocidade V constante, sendo V, as componentes do momentum relativístico da partícula são dadas por px^prime=gammav^prime m0 v^prime e py^prime=pz^prime=0, enquanto que a energia relativística total é E^prime=gammav^prime m0 c^2. Utilize as T.L. das velocidades para determinar v^prime e então mostre que gammav^prime=gammav gammaV(1-V vc^2). Em seguida substitua estes resultados para v^prime e gammav^prime no lado direito das expressões de (px^prime, py^prime, pz^prime, E^prime) para mostrar que
px^prime=gammaV(px-V E / c^2), py^prime=py, pz^prime=pz, E^prime=gammaV(E-V px)
Defina quadrivetores x equiv(x, y, z, c t) e p equiv(px, py, pz, E / c). Utilizando uma representação matricial em que esses vetores podem ser escritos como matrizes colunas, obtenha matrizes de transformação T1,2(gammaV, beta), com beta=V / c, tais que x^prime=T1 x e p^prime=T2 p. Observe que T1=T2, sendo este o fato que motiva a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Relatividade Especial que envolve os conceitos de quadrimomentum e transformações de Lorentz. Precisamos determinar a velocidade da partícula no sistema de referência que se move com uma velocidade constante relativa a , e mostrar como os componentes do momentum e da energia se transformam entre os sistemas e . Para isso, vamos utilizar as transformações de Lorentz das velocidades e aplicar as fórmulas do momentum e da energia relativística.

Passo 2

Primeiro, vamos usar as transformações de Lorentz para velocidades. A velocidade v' = v - V1 - V vc^2 da partícula no sistema pode ser encontrada pela fórmula:
Aqui, é a velocidade da partícula em , é a velocidade do sistema em relação a , e é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que o fator de Lorentz gammav' = gammav gammaV (1 - V vc^2) está relacionado aos fatores e pelas transformações de Lorentz. A relação é dada por:
Para isso, lembramos que . Substituindo na expressão de , vamos simplificar para chegar à relação desejada.

Passo 4

Substituímos as expressões encontradas para p'x = gammav' m0 v', p'y = p'z = 0, E' = gammav' m0 c^2 e p'x = gammaV (px - V Ec^2), p'y = py, p'z = pz, E' = gammaV (E - V px) nas fórmulas dos componentes do momentum relativístico e da energia no sistema :
Substituindo e :
Assim, mostramos como os componentes do momentum e da energia se transformam entre os sistemas e .

Passo 5

Agora, vamos definir os quadrivetores para espaço-tempo e momentum-energia:
x equiv (x, y, z, c t) e p equiv (px, py, pz, Ec)
Em representação matricial, esses vetores são escritos como matrizes coluna:
x = x y z c t , p = px py pz Ec

Passo 6

Queremos obter as matrizes de transformação x' = T1 x e p' = T2 p e que relacionam os quadrivetores nos sistemas e :
Utilizando as transformações encontradas anteriormente para e , podemos construir as matrizes e . Observamos que , o que reforça a ideia de que espaço-tempo e momentum-energia são descritos por quadrivetores na Relatividade Especial.

Resposta

Assim, demostramos que e obtivemos as transformações dos componentes do momentum e da energia entre os sistemas e . Além disso, definimos os quadrivetores e as matrizes de transformação correspondentes, confirmando que , o que fundamenta a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.

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