T.L. para o quadrimomentum. Uma partícula de massa de repouso desloca-se com velocidade no sentido positivo dos de um sistema de referência inercial . Nesse referencial as componentes do seu momentum linear relativístico são e , onde . A sua energia relativística total é . Num sistema que desloca-se no sentido positivo do eixo com uma velocidade constante, sendo , as componentes do momentum relativístico da partícula são dadas por e , enquanto que a energia relativística total é . Utilize as T.L. das velocidades para determinar e então mostre que . Em seguida substitua estes resultados para e no lado direito das expressões de para mostrar que
Defina quadrivetores e . Utilizando uma representação matricial em que esses vetores podem ser escritos como matrizes colunas, obtenha matrizes de transformação , com , tais que x e . Observe que , sendo este o fato que motiva a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Relatividade Especial que envolve os conceitos de quadrimomentum e transformações de Lorentz. Precisamos determinar a velocidade da partícula no sistema de referência que se move com uma velocidade constante relativa a , e mostrar como os componentes do momentum e da energia se transformam entre os sistemas e . Para isso, vamos utilizar as transformações de Lorentz das velocidades e aplicar as fórmulas do momentum e da energia relativística.
Passo 2
Primeiro, vamos usar as transformações de Lorentz para velocidades. A velocidade da partícula no sistema pode ser encontrada pela fórmula:
Aqui, é a velocidade da partícula em , é a velocidade do sistema em relação a , e é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que o fator de Lorentz está relacionado aos fatores e pelas transformações de Lorentz. A relação é dada por:
Para isso, lembramos que . Substituindo na expressão de , vamos simplificar para chegar à relação desejada.
Passo 4
Substituímos as expressões encontradas para e nas fórmulas dos componentes do momentum relativístico e da energia no sistema :
Substituindo e :
Assim, mostramos como os componentes do momentum e da energia se transformam entre os sistemas e .
Passo 5
Agora, vamos definir os quadrivetores para espaço-tempo e momentum-energia:
Em representação matricial, esses vetores são escritos como matrizes coluna:
Passo 6
Queremos obter as matrizes de transformação x' = T1 x e p' = T2 p e que relacionam os quadrivetores nos sistemas e :
Utilizando as transformações encontradas anteriormente para e , podemos construir as matrizes e . Observamos que , o que reforça a ideia de que espaço-tempo e momentum-energia são descritos por quadrivetores na Relatividade Especial.
Resposta
Assim, demostramos que e obtivemos as transformações dos componentes do momentum e da energia entre os sistemas e . Além disso, definimos os quadrivetores e as matrizes de transformação correspondentes, confirmando que , o que fundamenta a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.