Covariância da equação de onda da luz. A equação de onda para um feixe de luz que se propaga na direção
pode ser escrita na forma
, onde
representa componentes dos campos elétrico e magnético. Esta é a descrição para um observador num sistema inercial
provido de coordenadas
. Utilizando as transformações de Lorentz, mostre que a equação de onda na perspectiva de um observador em um sistema de referência
que se move em relação a
com velocidade
se escreve
, onde
. Qual o significado fisico deste resultado?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre a covariância da equação de onda da luz. Estamos falando de física, mais especificamente de relatividade especial. Precisamos usar as transformações de Lorentz para mostrar que a equação de onda mantém a mesma forma em um sistema de referência que está se movendo em relação ao primeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as transformações de Lorentz. Se temos um sistema S e outro sistema S’ que se move com velocidade V em relação a S na direção x, as transformações são:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas parciais em relação a
e
no sistema S, em termos de derivadas parciais em relação a
e
no sistema S’. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada em relação a
:
Fazendo as derivadas, temos termos com
, mas como estamos lidando com transformações lineares e mantendo a consistência nas derivadas, acabamos com:
Analogamente, para a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação de onda original:
Podemos simplificar
de ambos os lados e reorganizar os termos:
Observamos que os termos com
e
se cancelam, restando:
Resposta
Pronto! Mostramos que, após aplicar as transformações de Lorentz, a equação de onda mantém a mesma forma no sistema S’. Isso significa que as leis da física são as mesmas em todos os sistemas inerciais, ou seja, a equação de onda da luz é covariante sob transformações de Lorentz. Essa é uma das bases da relatividade especial, garantindo que a descrição das ondas eletromagnéticas seja consistente para todos os observadores em movimento relativo uniforme.
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Na mecânica newtoniana, a relação
é válida, onde
é a energia total de uma partícula que se desloca com velocidade instantânea
e está sob a ação de uma força efetiva
. Mostre que esta relação também é válida em mecânica relativística. (Dica: lembre-se que
.)
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desloca-se com velocidade
no sentido positivo dos
de um sistema de referência inercial
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e
, onde
. A sua energia relativística total é
. Num sistema
que desloca-se no sentido positivo do eixo
com uma velocidade
constante, sendo
, as componentes do momentum relativístico da partícula são dadas por
e
, enquanto que a energia relativística total é
. Utilize as T.L. das velocidades para determinar
e então mostre que
. Em seguida substitua estes resultados para
e
no lado direito das expressões de
para mostrar que
Defina quadrivetores
e
. Utilizando uma representação matricial em que esses vetores podem ser escritos como matrizes colunas, obtenha matrizes de transformação
, com
, tais que
x e
. Observe que
, sendo este o fato que motiva a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.
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