Suponha que a produção de uma empresa, dependente de dois insumos R e S, cujas quantidades são, respectivamente, x e y, seja modelada pela equação P(x, y) A. x^alpha * y^(1-alpha) e que os seus custos sejam dados por C(x, y) = p x + q y, onde A, alpha, p e q são constantes.
Considerando que a produção seja fixa, isto é, P(x, y) = K, em que K é uma constante, calcule os valores de x e de y que minimizam os custos da empresa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma empresa que usa dois insumos, e , com quantidades e respectivamente. A produção dessa empresa é dada pela equação , e os custos são . Nosso objetivo aqui é descobrir quais valores de e fazem com que os custos sejam mínimos, dado que a produção é fixa em uma constante . Vamos precisar usar um pouco de álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a restrição que temos: a produção é fixa, ou seja, . Isso significa que:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, , para que possamos expressar em termos de .

Passo 3

Isolando na equação acima:
Agora, para encontrar , elevamos ambos os lados da equação ao expoente :

Passo 4

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na função de custo :
Nosso objetivo é minimizar essa função de custo em relação a .

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza o custo, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Simplificando a derivada:

Passo 6

Vamos resolver para :
Isolando :
Simplificando o expoente:
Portanto:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo na equação:
Após simplificar, chegamos à expressão para .

Resposta

Os valores de e que minimizam os custos da empresa, mantendo uma produção fixa , são:
Essas fórmulas nos mostram como ajustar as quantidades dos insumos e para minimizar os custos, dado o nível de produção desejado .

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