Suponha que a produção de uma empresa, dependente de dois insumos e , cujas quantidades são, respectivamente, e , seja modelada pela equação A. e que os seus custos sejam dados por , onde e são constantes.
Considerando que a produção seja fixa, isto é, , em que é uma constante, calcule os valores de e de que minimizam os custos da empresa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma empresa que usa dois insumos, e , com quantidades e respectivamente. A produção dessa empresa é dada pela equação , e os custos são . Nosso objetivo aqui é descobrir quais valores de e fazem com que os custos sejam mínimos, dado que a produção é fixa em uma constante . Vamos precisar usar um pouco de álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a restrição que temos: a produção é fixa, ou seja, . Isso significa que:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, , para que possamos expressar em termos de .
Passo 3
Isolando na equação acima:
Agora, para encontrar , elevamos ambos os lados da equação ao expoente :
Passo 4
Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na função de custo :
Nosso objetivo é minimizar essa função de custo em relação a .
Passo 5
Para encontrar o valor de que minimiza o custo, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Simplificando a derivada:
Passo 6
Vamos resolver para :
Isolando :
Simplificando o expoente:
Portanto:
Passo 7
Agora que temos , podemos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo na equação:
Após simplificar, chegamos à expressão para .
Resposta
Os valores de e que minimizam os custos da empresa, mantendo uma produção fixa , são:
Essas fórmulas nos mostram como ajustar as quantidades dos insumos e para minimizar os custos, dado o nível de produção desejado .