Determinar a derivada direcional da função f(x, y) = y * e^x no ponto 0,3 na direção do vetor que faz um ângulo de 120 graus com a parte positiva do eixo x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção de um vetor que faz um ângulo de com o eixo positivo.
Para isso, vamos utilizar conceitos de derivada direcional e gradiente de uma função multivariável. Precisamos calcular o gradiente da função , determinar o vetor direção a partir do ângulo fornecido, normalizar esse vetor e, finalmente, calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente da função é:
No ponto , substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor direção que faz um ângulo de com a parte positiva do eixo .
As componentes do vetor podem ser encontradas usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Calculando os valores:
Então, o vetor direção é:
Como já é um vetor unitário (seu módulo é 1), não precisamos normalizá-lo.

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional utilizando o produto escalar entre o gradiente da função no ponto dado e o vetor direção.
A fórmula da derivada direcional é:
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor que forma um ângulo de com o eixo positivo é:

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