Determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que faz um ângulo de
com a parte positiva do eixo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção de um vetor que faz um ângulo de
com o eixo
positivo.
Para isso, vamos utilizar conceitos de derivada direcional e gradiente de uma função multivariável. Precisamos calcular o gradiente da função
, determinar o vetor direção a partir do ângulo fornecido, normalizar esse vetor e, finalmente, calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente da função é:
No ponto
, substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor direção que faz um ângulo de
com a parte positiva do eixo
.
As componentes do vetor
podem ser encontradas usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Calculando os valores:
Então, o vetor direção é:
Como
já é um vetor unitário (seu módulo é 1), não precisamos normalizá-lo.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional utilizando o produto escalar entre o gradiente da função no ponto dado e o vetor direção.
A fórmula da derivada direcional
é:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que forma um ângulo de
com o eixo
positivo é:
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Resolva os seguintes PVIs:
Uma empresa de componentes eletrônicos fabrica dois produtos: um básico e um mais sofisticado. A produção mensal da empresa é dada pela função:
em que
é o número de produtos básicos e
o número de produtos sofisticados feitos mensalmente. Existe um limite para a produção mensal de tais componentes de forma que
.
Determine as quantidades e
que maximizam a produção dessa empresa e justifique por que os valores de
e
que você encontrou maximizam a produção.
Determine as quantidades
Suponha que a produção de uma empresa, dependente de dois insumos
e
, cujas quantidades são, respectivamente,
e
, seja modelada pela equação
A.
e que os seus custos sejam dados por
, onde
e
são constantes.
Considerando que a produção seja fixa, isto é, , em que
é uma constante, calcule os valores de
e de
que minimizam os custos da empresa.
Considerando que a produção seja fixa, isto é,
Uma caixa com formato de paralelepípedo retângulo sem tampa será confeccionada em alumínio e deve ter volume de
. Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de alumínio usado na confecção da caixa?