Uma caixa de massa 12 kg esta sobre um plano perfeitamente liso que tem uma inclinação de 30 com a horizontal. A caixa e presa a uma mola de constante elástica K=4,0 . 10 3N/M, por um cabo inextensível de massa desprezível que passa por uma roldana ideal é mantém a caixa em equilíbrio. Qual a deformação sofrida pela roda?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa de 12 kg parada sobre um plano inclinado de 30° sem atrito. A caixa está ligada a uma mola com constante elástica $ K = 4,0 \times 10^3 , N/m $ por um cabo que passa por uma roldana ideal. Queremos descobrir quanto a mola se deforma para que a caixa fique em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em planos inclinados e a Lei de Hooke.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na caixa. Como o plano é perfeitamente liso, não temos atrito. As forças presentes são:
- Força peso ($ P $): que age verticalmente para baixo e tem magnitude $ P = m \times g $, onde $ m = 12 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $.
- Força da mola ($ F_{mola} $): que age ao longo do plano inclinado e contraria o movimento da caixa.
- Tensão no cabo ($ T $): que é igual à força exercida pela mola, já que a roldana é ideal e o cabo é inextensível.
Passo 3
Vamos decompor a força peso em duas componentes:
- Paralela ao plano ($ P_{\parallel} $): $ P_{\parallel} = P \times \sin(\theta) $
- Perpendicular ao plano ($ P_{\perp} $): $ P_{\perp} = P \times \cos(\theta) $
Como não há movimento perpendicular ao plano, a força normal é igual a $ P_{\perp} $, mas como o plano é liso, não precisamos nos preocupar com ela para este problema.
Passo 4
Como a caixa está em equilíbrio, as forças que atuam paralelamente ao plano se equilibram. Ou seja:
A força da mola é dada pela Lei de Hooke:
Onde $ x $ é a deformação da mola que queremos encontrar.
Passo 5
Agora, substituímos $ P_{\parallel} $ na equação de equilíbrio:
Queremos isolar $ x $:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
- $ m = 12 , kg $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
- $ \theta = 30° $
- $ K = 4,0 \times 10^3 , N/m $
Primeiro, calculamos $ \sin(30°) = 0,5 $:
Resposta
A deformação sofrida pela mola é de aproximadamente $ 0,0147 , metros $ ou $ 1,47 , centímetros $.