Uma caixa de massa M contendo um bloco de massa m está dependurada em uma mola de constante elástica k. Encontre a força de reação entre o bloco e o fundo da caixa em função do tempo sabendo-se que o sistema foi deslocado para baixo de uma distância d, contada a partir da posição de equilíbrio, e em seguida abandonado. Para que valor de d o bloco perderá o contato com o fundo da caixa na parte mais alta das oscilações verticais? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma caixa com massa que contém um bloco de massa . Essa caixa está pendurada numa mola com constante elástica . Queremos descobrir qual é a força de reação entre o bloco e o fundo da caixa ao longo do tempo, sabendo que a caixa foi puxada para baixo uma distância a partir da posição de equilíbrio e depois solta. Além disso, precisamos achar qual valor de fará o bloco perder contato com o fundo da caixa na parte mais alta das oscilações, ignorando a resistência do ar. Para isso, vamos usar conceitos de física envolvendo forças, equilíbrio e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição de equilíbrio do sistema. Quando a caixa está em equilíbrio, a força da mola equilibra o peso total do sistema. A força da mola é dada por k cdot xeq = (M + m) cdot g , onde xeq = (M + m) cdot gk é a deformação da mola.
Nesse caso, em equilíbrio:
Então, a posição de equilíbrio é:

Passo 3

Quando a caixa é deslocada para baixo uma distância x(t) = xeq + d cdot cos(omega t) a partir da posição de equilíbrio e solta, ela realiza um movimento oscilatório harmônico simples. A posição em função do tempo é:
onde é a frequência angular do sistema.

Passo 4

Queremos encontrar a força de reação R(t) = m cdot g - m cdot ( d cdot cos(omega t) cdot km ) que o fundo da caixa exerce sobre o bloco. Essa força é a diferença entre o peso do bloco e a força que a mola exerce sobre ele no instante R(t) = m cdot g - k cdot d cdot cos(omega t) :
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar quando o bloco perde o contato com o fundo da caixa, a força de reação 0 = m cdot g - k cdot d deve ser igual a zero na parte mais alta das oscilações. Na parte mais alta, k cdot d = m cdot g d = m cdot gk , então:
Resolvendo para :

Resposta

A força de reação entre o bloco e o fundo da caixa em função do tempo é:
R(t) = m cdot g - k cdot d cdot cos(raizkM + m, t)
E o deslocamento d = m cdot gk necessário para que o bloco perca o contato com o fundo da caixa na parte mais alta das oscilações é:

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