A velocidade terminal de uma bola em queda livre é
. Quando a bola está dependurada em uma mola leve a mola se distende de
. Mostre que a frequência natural de oscilação é dada por
supondo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe envolve mecânica, mais especificamente o estudo de movimento oscilatório com resistência do ar. Precisamos mostrar que a frequência natural de oscilação da bola pendurada na mola é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como a força da mola, a força gravitacional e a força de resistência do ar interagem nesse sistema. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a força gravitacional que age na bola. Essa força é dada por:
onde:
-
é a massa da bola, -
é a aceleração da gravidade.
Como a mola está estendida em equilíbrio, a força da mola deve equilibrar a força gravitacional. A Lei de Hooke nos diz que a força da mola é:
onde:
-
é a constante da mola, -
é a deformação da mola no equilíbrio.
Passo 3
No equilíbrio, as forças se anulam, então:
Dessa equação, podemos isolar a constante da mola
:
Passo 4
Agora, vamos levar em conta a resistência do ar, que é proporcional à velocidade da bola. Isso significa que a força de resistência do ar
é:
onde:
-
é o coeficiente de resistência do ar, -
é a velocidade da bola.
A velocidade terminal
ocorre quando a força gravitacional é equilibrada pela força da resistência do ar:
Passo 5
Agora, vamos montar a equação do movimento da bola. Considerando as forças envolvidas, temos:
Essa é a equação diferencial de um sistema massa-mola com amortecimento linear.
Passo 6
Para encontrar a frequência natural, precisamos resolver a equação característica associada:
As raízes dessa equação são:
A frequência natural
está relacionada à parte imaginária das raízes quando o discriminante
é negativo.
Passo 7
Vamos substituir
e
na expressão do discriminante:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Para que o sistema oscilatório seja subamortecido (ou seja, tenha oscilação), o discriminante precisa ser negativo:
Assumindo que essa condição é satisfeita, a frequência natural é então:
Substituindo
e
:
Resposta
Então, a frequência natural de oscilação da bola é: