A velocidade terminal de uma bola em queda livre é vt. Quando a bola está dependurada em uma mola leve a mola se distende de x0. Mostre que a frequência natural de oscilação é dada por
omega1=raizgx0-g^24 vt^2
supondo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe envolve mecânica, mais especificamente o estudo de movimento oscilatório com resistência do ar. Precisamos mostrar que a frequência natural de oscilação da bola pendurada na mola é dada por:
omega1=raizgx0-g^24 vt^2
Para resolver isso, vamos precisar entender como a força da mola, a força gravitacional e a força de resistência do ar interagem nesse sistema. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a força gravitacional que age na bola. Essa força é dada por:
Fg = m cdot g
onde:
  • Fmola = k cdot x0 é a massa da bola,
  • é a aceleração da gravidade.
Como a mola está estendida em equilíbrio, a força da mola deve equilibrar a força gravitacional. A Lei de Hooke nos diz que a força da mola é:
onde:
  • é a constante da mola,
  • é a deformação da mola no equilíbrio.

Passo 3

No equilíbrio, as forças se anulam, então:
Fg = Fmola m cdot g = k cdot x0
Dessa equação, podemos isolar a constante da mola k = m cdot gx0 :

Passo 4

Agora, vamos levar em conta a resistência do ar, que é proporcional à velocidade da bola. Isso significa que a força de resistência do ar Far = -b cdot v é:
m cdot g = b cdot vt Rightarrow b = m cdot gvt
onde:
  • é o coeficiente de resistência do ar,
  • é a velocidade da bola.
A velocidade terminal ocorre quando a força gravitacional é equilibrada pela força da resistência do ar:

Passo 5

Agora, vamos montar a equação do movimento da bola. Considerando as forças envolvidas, temos:
m cdot d^2xdt^2 + b cdot dxdt + k cdot x = 0
Essa é a equação diferencial de um sistema massa-mola com amortecimento linear.

Passo 6

Para encontrar a frequência natural, precisamos resolver a equação característica associada:
m cdot r^2 + b cdot r + k = 0
As raízes dessa equação são:
r = -b pm raizb^2 - 4mk2m
A frequência natural está relacionada à parte imaginária das raízes quando o discriminante é negativo.

Passo 7

Vamos substituir b^2 - 4mk = (m cdot gvt)^2 - 4m cdot m cdot gx0 = m^2 g^2vt^2 - 4m^2 gx0 e = m^2 g ( gvt^2 - 4x0 ) na expressão do discriminante:
Podemos fatorar :

Passo 8

Para que o sistema oscilatório seja subamortecido (ou seja, tenha oscilação), o discriminante precisa ser negativo:
gvt^2 - 4x0 < 0 Rightarrow 4x0 > gvt^2
Assumindo que essa condição é satisfeita, a frequência natural é então:
omega1 = raiz4mk - b^24m^2
Substituindo omega1 = raiz 4 cdot m cdot gx0 cdot m - ( m cdot gvt )^2 4m^2 = raiz 4m^2 cdot gx0 - m^2 cdot g^2vt^2 4m^2 = raiz 4 cdot gx0 - g^2vt^24 = raiz gx0 - g^24 vt^2 e :

Resposta

Então, a frequência natural de oscilação da bola é:
omega1=raizgx0-g^24 vt^2

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