Mostre que o fator de qualidade
de um oscilador harmônico forçado é igual ao fator pelo qual deve ser multiplicado a resposta à frequência para se obter a resposta à frequência de ressonância.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o fator de qualidade
de um oscilador harmônico forçado é igual ao fator pelo qual precisamos multiplicar a resposta em uma frequência qualquer para chegar na resposta na frequência de ressonância. Vamos usar conceitos de oscilações forçadas e o que define o fator de qualidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um oscilador harmônico forçado é aquele que é sujeito a uma força externa que varia com o tempo, geralmente na forma de uma função senoidal. A resposta do sistema, ou seja, a amplitude da oscilação, depende da frequência da força aplicada.
Passo 3
A amplitude da resposta
do oscilador pode ser expressa pela fórmula:
Aqui,
é a amplitude da força externa,
é a massa do oscilador,
é a frequência natural do sistema,
é a frequência da força aplicada, e
é o coeficiente de amortecimento.
Passo 4
Na frequência de ressonância
, a amplitude atinge seu valor máximo. Podemos encontrar essa frequência derivando
em relação a
e igualando a derivada a zero. Isso nos dá:
Para pequenas perdas (quando
é pequeno), podemos aproximar
.
Passo 5
O fator de qualidade
é definido como:
Esse fator mede a “qualidade” da ressonância, ou seja, quão aguda é o pico de resposta na frequência de ressonância.
Passo 6
Agora, vamos relacionar
com a resposta em uma frequência geral
. A resposta máxima na ressonância é:
E a resposta em uma frequência qualquer
é
.
Passo 7
Podemos ver que:
Isso mostra que o fator
multiplica a resposta em uma frequência qualquer para chegar na resposta na frequência de ressonância.
Resposta
Assim, demonstramos que o fator de qualidade
é igual ao fator pelo qual devemos multiplicar a resposta em uma frequência qualquer para obter a resposta na frequência de ressonância.