Mostre que o fator de qualidade Q de um oscilador harmônico forçado é igual ao fator pelo qual deve ser multiplicado a resposta à frequência para se obter a resposta à frequência de ressonância.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o fator de qualidade de um oscilador harmônico forçado é igual ao fator pelo qual precisamos multiplicar a resposta em uma frequência qualquer para chegar na resposta na frequência de ressonância. Vamos usar conceitos de oscilações forçadas e o que define o fator de qualidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um oscilador harmônico forçado é aquele que é sujeito a uma força externa que varia com o tempo, geralmente na forma de uma função senoidal. A resposta do sistema, ou seja, a amplitude da oscilação, depende da frequência da força aplicada.

Passo 3

A amplitude da resposta A(omega) = F0/mraiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (gamma omega)^2 do oscilador pode ser expressa pela fórmula:
Aqui, é a amplitude da força externa, é a massa do oscilador, é a frequência natural do sistema, é a frequência da força aplicada, e é o coeficiente de amortecimento.

Passo 4

Na frequência de ressonância omegar = raizomega0^2 - 2gamma^2 , a amplitude atinge seu valor máximo. Podemos encontrar essa frequência derivando em relação a e igualando a derivada a zero. Isso nos dá:
Para pequenas perdas (quando é pequeno), podemos aproximar .

Passo 5

O fator de qualidade Q = omegargamma é definido como:
Esse fator mede a “qualidade” da ressonância, ou seja, quão aguda é o pico de resposta na frequência de ressonância.

Passo 6

Agora, vamos relacionar Ares = F0/mgamma omegar com a resposta em uma frequência geral . A resposta máxima na ressonância é:
E a resposta em uma frequência qualquer é .

Passo 7

Podemos ver que:
Ares = Q cdot F0/momega0^2
Isso mostra que o fator multiplica a resposta em uma frequência qualquer para chegar na resposta na frequência de ressonância.

Resposta

Assim, demonstramos que o fator de qualidade é igual ao fator pelo qual devemos multiplicar a resposta em uma frequência qualquer para obter a resposta na frequência de ressonância.

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