Mostre que a frequência da força externa, para a qual a amplitude do oscilador harmônico forçado é a metade da amplitude de ressonância, é aproximadamente
Considere o caso de amortecimento fraco.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um oscilador harmônico forçado com amortecimento fraco. Queremos descobrir quais são as frequências da força externa que fazem com que a amplitude do movimento seja metade da amplitude de ressonância. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações que descrevem a amplitude de um oscilador forçado com amortecimento e entender como o amortecimento afeta a amplitude em diferentes frequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a amplitude máxima (ressonância) ocorre quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema (
). A fórmula para a amplitude
de um oscilador harmônico forçado com amortecimento é:
Onde:
-
é a amplitude da força externa -
é a massa do oscilador -
é a frequência natural -
é o coeficiente de amortecimento -
é a frequência da força externa
Passo 3
Na condição de ressonância, a amplitude atinge seu valor máximo, que ocorre quando
. Substituindo na fórmula:
Queremos encontrar as frequências
onde a amplitude
é metade da amplitude de ressonância:
Substituindo as expressões:
Passo 4
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:
Invertendo os dois lados:
Passo 5
Considerando que o amortecimento é fraco, ou seja,
é pequeno comparado a
, podemos aproximar
perto de
. Assim, podemos escrever
, onde
é pequeno. Substituindo na equação anterior e simplificando, obtemos:
Após desenvolver e simplificar, encontramos que
.
Resposta
A frequência da força externa, para a qual a amplitude do oscilador harmônico forçado é a metade da amplitude de ressonância, é aproximadamente