Mostre que a frequência da força externa, para a qual a amplitude do oscilador harmônico forçado é a metade da amplitude de ressonância, é aproximadamente
omega0 pm gamma raiz3
Considere o caso de amortecimento fraco.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um oscilador harmônico forçado com amortecimento fraco. Queremos descobrir quais são as frequências da força externa que fazem com que a amplitude do movimento seja metade da amplitude de ressonância. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações que descrevem a amplitude de um oscilador forçado com amortecimento e entender como o amortecimento afeta a amplitude em diferentes frequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a amplitude máxima (ressonância) ocorre quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema ( A(omega) = F0m raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gammaomega)^2 ). A fórmula para a amplitude de um oscilador harmônico forçado com amortecimento é:
Onde:
  • é a amplitude da força externa
  • é a massa do oscilador
  • é a frequência natural
  • é o coeficiente de amortecimento
  • é a frequência da força externa

Passo 3

Na condição de ressonância, a amplitude atinge seu valor máximo, que ocorre quando Aressonância = F0m cdot 2gamma omega0 . Substituindo na fórmula:
A(omega) = Aressonância2 â
Queremos encontrar as frequências F0m raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gammaomega)^2 = 12 cdot F0m cdot 2gamma omega0 onde a amplitude é metade da amplitude de ressonância:
â
Substituindo as expressões:

Passo 4

Podemos simplificar cancelando 1raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gammaomega)^2 = 14gamma omega0 dos dois lados:
1(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gammaomega)^2 = 116gamma^2 omega0^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:
(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gammaomega)^2 = 16gamma^2 omega0^2
Invertendo os dois lados:

Passo 5

Considerando que o amortecimento é fraco, ou seja, (omega0^2 - (omega0 pm de é pequeno comparado a , podemos aproximar perto de . Assim, podemos escrever , onde é pequeno. Substituindo na equação anterior e simplificando, obtemos:
Após desenvolver e simplificar, encontramos que .

Resposta

A frequência da força externa, para a qual a amplitude do oscilador harmônico forçado é a metade da amplitude de ressonância, é aproximadamente
omega0 pm gamma raiz3

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