Uma caixa de massa m está em repouso sobre um piso horizontal. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o piso e a caixa são mus e muc, respectivamente. Você deseja mover a caixa ao longo do piso com velocidade constante. Mostre que a força que você exerce puxando a caixa (FP) com um ângulo theta acima da horizontal é menor do que a força (FE) necessária para empurrar a caixa com um ângulo theta abaixo da horizontal. Resp: FEFP=(1+muc tan theta) /(1-muc tan theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa de massa que está parada sobre um piso horizontal. Queremos movimentar essa caixa com velocidade constante, ou seja, sem acelerar. Para isso, precisamos entender como as forças de atrito estão agindo na caixa. Vamos usar conceitos de física sobre forças, atrito e equilíbrio de forças para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam na caixa quando você puxa ou empurra. Quando você aplica uma força para puxar ( ) com um ângulo acima da horizontal, essa força tem duas componentes: uma horizontal que empurra a caixa para frente e uma vertical que diminui a força normal. A força normal é a força que o piso exerce para sustentar a caixa contra a gravidade.

Passo 3

A força normal ( NP = mg - FP sin theta ) quando você está puxando a caixa é dada por:
Aqui, é o peso da caixa e é a componente vertical da força de puxar que reduz a força normal.

Passo 4

Como queremos mover a caixa com velocidade constante, a força resultante na horizontal deve ser zero. Isso significa que a força de puxar na horizontal ( FP cos theta = muc NP ) deve equilibrar a força de atrito cinético ( FP cos theta = muc (mg - FP sin theta) ):
Substituindo da etapa anterior:

Passo 5

Vamos organizar essa equação para encontrar FP cos theta + muc FP sin theta = muc mg :
FP (cos theta + muc sin theta) = muc mg
Fatorando FP = muc mgcos theta + muc sin theta :
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos fazer a mesma análise para empurrar a caixa com a força NE = mg + FE sin theta com um ângulo FE cos theta = muc NE abaixo da horizontal. Nesse caso, a força vertical adicionada aumenta a força normal:
FE cos theta = muc (mg + FE sin theta)
E a equação de equilíbrio na horizontal fica:
Substituindo :

Passo 7

Organizando para encontrar FE cos theta - muc FE sin theta = muc mg :
FE (cos theta - muc sin theta) = muc mg
Fatorando FE = muc mgcos theta - muc sin theta :
Portanto:

Passo 8

Agora, queremos comparar FEFP = muc mgcos theta - muc sin thetamuc mgcos theta + muc sin theta = cos theta + muc sin thetacos theta - muc sin theta e FEFP = 1 + muc tan theta1 - muc tan theta . Vamos dividir por :
Simplificando usando a relação :

Resposta

FEFP = 1 + muc tan theta1 - muc tan theta

Exercícios relacionados