caixa netangular sem tampa deve conter um volume m 0 cm^2. Determine as dimensões que minimizem a quan là grasto. Justifique que o valor encontrado é de fato fi minimo absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que deve conter um volume fixo (provavelmente em cm³, apesar do texto mencionar cm², que deve ser um erro). O objetivo é minimizar a quantidade de material usado na construção da caixa, ou seja, minimizar a área da superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de otimização, onde aplicaremos derivadas para encontrar os valores mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento,
  • a largura,
  • a altura da caixa.
Como a caixa não tem tampa, a área da superfície será:
E o volume é dado por:

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar sujeita à restrição . Para simplificar, podemos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Vamos resolver para :

Passo 4

Agora, substituímos na equação da área :

Passo 5

Para minimizar , vamos derivar a função em relação a e e igualar a zero. No entanto, para simplificar, assumimos que a caixa tem base quadrada, ou seja, . Isso reduz a complexidade do problema.
Então, com :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

Passo 7

Resolvendo para :
Então, .

Passo 8

Agora, encontramos usando a equação do volume:

Passo 9

Portanto, as dimensões que minimizam a quantidade de material são:

Passo 10

Para justificar que este valor é um mínimo absoluto, podemos verificar a segunda derivada da função em relação a . Se a segunda derivada for positiva no ponto crítico, então temos um mínimo absoluto.
A segunda derivada é:
Como e são positivos, é sempre positiva, confirmando que o ponto crítico é um mínimo absoluto.

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de material são:
E confirmamos que essas dimensões realmente proporcionam um mínimo absoluto na área da superfície.

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