caixa netangular sem tampa deve conter um volume m
. Determine as dimensões que minimizem a quan là grasto. Justifique que o valor encontrado é de fato fi minimo absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que deve conter um volume fixo
(provavelmente em cm³, apesar do texto mencionar cm², que deve ser um erro). O objetivo é minimizar a quantidade de material usado na construção da caixa, ou seja, minimizar a área da superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de otimização, onde aplicaremos derivadas para encontrar os valores mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento, -
a largura, -
a altura da caixa.
Como a caixa não tem tampa, a área da superfície
será:
E o volume
é dado por:
Passo 3
Nosso objetivo é minimizar
sujeita à restrição
. Para simplificar, podemos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Vamos resolver para
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação da área
:
Passo 5
Para minimizar
, vamos derivar a função em relação a
e
e igualar a zero. No entanto, para simplificar, assumimos que a caixa tem base quadrada, ou seja,
. Isso reduz a complexidade do problema.
Então, com
:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 7
Resolvendo para
:
Então,
.
Passo 8
Agora, encontramos
usando a equação do volume:
Passo 9
Portanto, as dimensões que minimizam a quantidade de material são:
Passo 10
Para justificar que este valor é um mínimo absoluto, podemos verificar a segunda derivada da função
em relação a
. Se a segunda derivada for positiva no ponto crítico, então temos um mínimo absoluto.
A segunda derivada é:
Como
e
são positivos,
é sempre positiva, confirmando que o ponto crítico é um mínimo absoluto.
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de material são:
E confirmamos que essas dimensões realmente proporcionam um mínimo absoluto na área da superfície.
Exercícios relacionados
Calcuade wía/ whe onvio a
o
.
Calcule o volume do sólido do primeiro octante, delimitados pelos planos
,
e
.
termine os valores máximos e minimos locais e pontos de são
. Lembre de justificar o ontrados.
Considere a função
em que
.
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
II. Para todo , essa função não possui máximo local.
III. Se a função tem mais de 20 pontos críticos.
Escolha uma opção:
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se
II. Para todo
III. Se
Escolha uma opção: